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Per non ricadere dunque nei casi già trattati, supponiamo ora A ={= B, e dalle 
(59), (60; trarremo : 
12 
( 61 ) 
1)U 
D /^21 
~ÒV 
B —D 
A — B 
h\ h<i 
CH, H 2 
k 
B A — B 
(H t h$r\- H 2 hx) 
D — A , 7 , CHj H 2 t k ,tt i i tt l \ 
3T=B *» A ' + A-B + À^B(H.A. + H.A.) 
Le superficie 2 di cui si tratta dovranno quindi necessariamente soddisfare, coi 
loro elementi riferiti alle linee di curvatura u , v , ad una relazione del tipo : 
(62) 
■a/» 
12 
liU 
— ahi hi -|- /SHi H 2 -}- y (Hi h 2 -}- H 2 hi) , 
con a , f , y costanti, o, ciò che è lo stesso, all’altra 
<°> 1 i-^_. + / , rk r. + r(r 1 + n). 
Si osserverà che in questa a sinistra figura la quantità 
che dipende solo dall'elemento lineare della rappresentazione sferica , mentre il 
secondo membro è una funzione lineare intera del prodotto e della somma dei raggi 
principali di curvatura di 2. 
Viceversa, se una superficie 2 appartiene alla classe (C), basterà, prese due 
costanti A, B arbitrarie, purché diverse fra loro e ambedue diverse da zero, pren¬ 
dere poi 
(63) D = B -}- a(B — A) , C = /?(B — A) , k — y (B— A) 
• 
e le (61) saranno ambedue soddisfatte. Ma allora, aggregando le due nuove equa¬ 
zioni (58) alle (TU) § 41, si forma il seguente sistema lineare omogeneo di equa¬ 
zioni ai differenziali totali per y, , y 2 , w , <p : 
4= 
\ìeg ) u ' fe J 
Yi B „ C TT D , k /TT . , x ~ÒYi 
-^ = -T hr ‘-T u ' ,f ~A k ' w -j (H ,”’+ A >») - 
^ = —-|h, ,,(H,«+ *,,,) 
mo . 
ìu ~ hlYl ’ 
2£_TT V ^ _tx v 
- ElYì ’ ~^~ EiYi : 
( 64 ) 
