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A causa delle (61) e delle (III]), questo è un sistema completamente integra¬ 
bile, che possiede inoltre l’integrale quadratico: 
(65) Ayf -j- B/j -J- G<p 2 + + 2 kg>w = cost. 
Basta dunque vincolare i valori iniziali delle funzioni trasformatrici colla con¬ 
dizione che la costante del secondo membro della (65) si annulli, ed avremo una 
trasformazione di Ribaucour della superficie A' in un'altra della medesima classe (C). 
Siccome, date le costanti nelle (63) resta ancora (a prescindere da un fat¬ 
tore di omogeneità) una costante arbitraria, ne concludiamo : Ogni superficie 2 della 
classe (C) ammette oo 3 trasformazioni di Ribaucour in superficie della medesima 
classe. 
§ 49. 
Esistenza e tipi delle superficie della classe (C). 
L’esistenza ed il grado di arbitrarietà delle nostre superfìcie 2 si riconosce fa¬ 
cilmente, osservando che, se si aggrega la (C) alle altre equazioni (A) § 40, si forma, 
nelle sei funzioni incognite (h x , hf) , (H! , H 2 ) , ,/? 21 ), il sistema: 
'òhi 
"àHj a .p, ~òd 12 
— dì 2 h\ , —, — = ahi hi -f- d Hi H 2 7 (Hi hi -f- H 2 hi) 
oU olC oli 
( 66 ) ; 
7>H, „ „ -òhi 
d Hi H 2 — y(Hi hi -|- Hj h x ). 
I teoremi generali d’esistenza, già ricordati al § 45, assicurano che, per indi¬ 
viduare una soluzione delle ( 66 ), basta assegnare ad arbitrio le tre funzioni di v 
cui si riducono per u — 0 
hi , H t , /f? 12 , 
e così le tre funzioni di u cui si riducono per v = 0 
^1, Hj , du • 
Tenuto conto dell’arbitrarietà dei parametri u , v , le nostre superficie vengono 
così a dipendere da quattro funzioni arbitrarie (di una variabile ciascuna). Sarebbe 
facile dimostrare che il risultato analitico si interpreta geometricamente nel teorema : 
Per individuare una superficie della classe (G) basta assegnare, ad arbitrio, 
come sue linee di curvatura, due curve C, r che si taglino ortogonalmente in 
|un punto. 
