— 512 — 
Le ricerche precedenti ci hanno provato che, per tutte le superficie della 
classe (C), si possono costruire dei metodi di trasformazione (per trasformazioni di 
Ribaucour) che permettono di dedurre da una superficie nota della classe oo 3 nuove 
superficie, e così di seguito. Aggiungiamo che si potrebbe anche qui stabilire per 
le successive trasformazioni un teorema di 'permutabilità , che permette di sempli¬ 
ficare, in modo ben noto, i metodi di trasformazione. Le superiìcie ad area minima 
o a curvatura costante e loro parallele appaiono qui come un caso limite delle su¬ 
perficie della classe (C) in quanto che, avendosi allora nella (65) A = B. la rela¬ 
zione caratteristica (C) è sostituita dall’altra 
a + P.r-i r t + y (n -f r t ) = 0. 
Da ultimo osserviamo che se ad una superficie 2 della classe (C) generale si 
sostituisce una sua parallela, si può, senza alterare la generalità, rendere y = 0 
quando sia /?=j=0; chè se invece è § — 0 (y 4= 0) possiamo rendere « = 0. Le 
superficie 2 possono quindi suddistinguersi nei due tipi 
(CO 
1 -i 
hi hi hu 
li 
Vh) 
Du ) 
( = «-{- pr x r t 
(CO 
i *, 
hi hi ~òu ' 
li 
~òu ) 
| = y(Ti +r g ). 
Fra le superficie 2 del tipo (Ci) due classi particolari sono da osservarsi. 
a) La prima classe si ha quando /? = 0, sicché la condizione implica soltanto 
l’immagine sferica: 
1 1 (l_ìh\ 
hi hi !>u \ hi hu 1 
— cost = a . 
1 corrispondenti sistemi sferici ortogonali ( u , v) stanno in una semplice relazione 
colle congruenze rettilinee reali pseudosferiche (*), a sviluppabili reali od immagi¬ 
narie, distinte o coincidenti. Basta invero costruire l’immagine sferica dei raggi 
della congruenza e prendere sulla sfera il sistema di linee ( u , v ) che corrispondono 
alle asintotiche delle due falde pseudosferiche focali (reali od immaginarie). 
Le trasformazioni di Ribaucour delle superficie 2 della classe si risolvono in 
questo caso in trasformazioni di Ribaucour dei corrispondenti sistemi sferici 
ortogonali ( u , v) (cfr. § 44). Particolarmente notevole è il caso (« = 0) che la 
congruenza pseudosferica abbia sviluppabili coincidenti, sia formata cioè dalla tan¬ 
gente alle asintotiche di una superficie pseudosferica. Le superficie 2 sono allora le 
superficie focali delle congruenze rettilinee di Guichard, colla proprietà caratteristica 
che le sviluppabili della congruenza tagliano le due superficie focali lungo le linee 
di curvatura. 
( L ) Cfr. la mia Memoria, Sopra una classe di superficie collegate alle congruenze pseudo¬ 
sferiche [(Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, tomo XL (1915)]. 
