ossia 
Hj 
( 68 ) 
li 
He 
Ne risulta intanto: nella congruenza deformata la corrispondenza delle due falde 
deve essere conforme . 
Sussistendo ora la (68), potremo porre 
h: = - 
H 
h; = + 
H 2 (f 
dove t indica una nuova funzione ausiliaria, e sostituendo nelle ultime due (1Y) 
§ 45, troveremo: 
ossia 
(69) 
Dt 2/? 12 H, ~òt 2/? 21 H 2 
— = - j -vv—r 4- H, , — =———r — H 2 y 2 
!>u H 2 ' . Ita H, 
* 2 1Mi, + h „| 
1)U 
7>t n D log H ! TT 
— = 2 --- t — H 2 y 2 - 
tv 
~ÒV 
La condizione d’integrabilità per queste due dà subito 
(70) 
e viceversa, se questa è soddisfatta, le (69) sono completamente integrabili, e riu¬ 
nite alle altre equazioni (IV) dànno un sistema completo di equazioni ai differen¬ 
ziali totali. La condizione trovata (70) non esprime altro che le linee di curvatura 
di 2 formano un sistema isotermo, onde si conclude : Per tutte e sole le superficie 
isoterme esistono le trasformazioni cercate. 
In altre parole abbiamo così dimostrato che solo nel caso di superficie isoterme 
esistono soluzioni comuni adequazione fondamentale (VI) § 19 pel primo problema 
del rotolamento ed all’altra R 12 = 0 la quale esprime che la congruenza di sfere 
è una congruenza di Ribaucour. Ma è ben notevole che in questo caso le due equa¬ 
zioni del secondo ordine posseggono soluzioni comuni nel massimo grado di arbitra¬ 
rietà, e cioè con quattro costanti arbitrarie. 
Volendo ora presentare le formole di trasformazione sotto la forma data da 
Darboux, introduciamo parametri u , v isometrici e poniamo 
