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§ 53 . 
Congruenze di sfere di Ribaucour con una deformazione finita. 
In primo luogo dimostriamo come alla ricerca di queste superficie S 0 , cioè delle 
trasformazioni D m per le superficie isoterme, si possa ricondurre l’altra: Trovare 
tutte le congruenze di sfere di Ribaucour che ammettono una deformazione finita, 
dopo la quale esse rimangono congruenze di Ribaucour C). 
Escluderemo naturalmente il caso, studiato al § 10, delle congruenze di Ri¬ 
baucour che tali rimangono in qualunque deformazione. Di questo problema abbiamo 
in sostanza risoluto il caso particolare (§§ 50, 51) in cui una delle congruenze sia 
elementare, cioè abbia le sfere passanti per un punto fisso, ed a questo caso ricon¬ 
duciamo il generale mediante le considerazioni seguenti. 
Suppongasi di avere una congruenza di sfere di Ribaucour, deformabile nel detto 
senso. Il sistema coniugato (u , v) che sulla superficie S dei centri corrisponde alle 
linee di curvatura delle due falde 2 , 2' sarà il sistema coniugato permanente nella 
deformazione supposta; e viceversa se questo sistema (u , v) è permanente in una 
deformazioue finita, dopo la deformazione la congruenza sarà ancora di Ribaucour. 
Per vedere questo basta ricordare la condizione (34) § 9 per le congruenze di Ri¬ 
baucour, che prendendo per linee (u , v) quelle del detto sistema coniugato sopra S 
dà luogo alle tre condizioni 
F* = 0 , Ris = 0 , D' = 0. 
Se il sistema (u , v) è coniugato permanente, queste condizioni sussistono ancora 
dopo la deformazione, e viceversa se, dopo una deformazione, la congruenza rimane 
ancora di Ribaucour, siccome le due prime condizioni rimangono soddisfatte, lo sarà 
necessariamente anche la terza, a meno che la congruenza non appartenga alla 
classe del § 10, caso che qui escludiamo. 
Il problema proposto equivale quindi all’altro di: trovare le congruenze di Ri¬ 
baucour per le quali il sistema coniugato (u , v) della superficie S dei centri, 
corrispondente alle linee di curvatura delle due falde 2 , 2 ', è permanente in una 
deformazione finita di S. 
Ora noi partiamo dalla semplice osservazione che se una congruenza di Ribaucour 
appartiene a questa classe, anche qualunque sua trasformata di Combeseure appar¬ 
tiene alla medesima classe. Difatti le due superficie dei centri S , S hanno la me- 
(*) Questo problema è stato risoluto recentemente dal Calapso in una interessante Memoria: 
Intorno agli inviluppi di sfere, sulle cui superficie focali si corrispondono le linee di curvatura 
[Annali di Matematica, serie 3 a , tomo XXVI, pp. 151-190 (1917)]. Alle deduaioni analitiche del¬ 
l’autore sostituiamo dapprima le considerazioni geometriche del testo. 
