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desima immagine sferica del sistema coniugato (u , v) (§ 43), e quindi per un ben 
noto teorema (voi. II, pag. 43), se il sistema coniugato (u , v) è permanente per 
1’ una, tale è anche per l’altra. Risulta intanto di qui che tutte le trasformate di 
Combescure delle congruenze conformi di sfere di Darboux appartengono alla 
classe richiesta. E si vedrà fra breve che esse la esauriscono completamente (v. § 56). 
Applicando allora al nostro problema il risultato alla fine del § 43, possiamo 
mutare la supposta congruenza di Ribaucour in una della medesima classe con sfere 
ortogonali ad una sfera fissa, cioè con falde focali 2 , 2 r inverse rispetto all’origine 0 
(trasformate per raggi vettori reciproci), e sulla superficie S dei centri il sistema 
(u, v) corrispondente alle linee di curvatura di 2.2' sarà permanente in una defor¬ 
mazione finita. Ora consideriamo della superficie 2 la polare reciproca S 0 rispetto 
ad una sfera di centro 0. Siano P . P f una coppia di punti corrispondenti di 2,2' 
(allineati con 0), M il punto corrispondente di S ed M 0 quello corrispondente di S 0 . 
La normale in M alla S è parallela alla congiungente OPP', e per le proprietà ele¬ 
mentari delle polari reciproche, lo stesso accade della normale in M 0 alla S 0 . Così 
dunque le due superficie S, S 0 si corrispondono per parallelismo delle normali ; ed 
il sistema (u,v), che è coniugato su S, è pare coniugato su S 0 come corrispondente 
alle linee di curvatura della polare reciproca 2 (*); inoltre essendo (u, v) coniugato 
permanente per S, tale è pure per S 0 . In fine, siccome la normale in P alla 2 è 
parallela alla sua volta al raggio OM 0 che va al punto corrispondente M 0 della po¬ 
lare reciproca S 0 , vediamo che il sistema coniugato ( u , v) di S 0 si projetta da 0, 
sopra una sfera di centro 0, precisamente nel sistema sferico ( u , v) immagine delle 
linee di curvatura di 2, cioè in un sistema ortogonale. Formuliamo intanto questo 
semplice risultato generale: Il sistema coniugato di una qualunque superficie S 0 
che sopra una sfera di centro 0 si projetta in un sistema ortogonale, è quello 
che corrisponde alle linee di curvatura della polare reciproca 2 della S 0 rispetto 
alla detta sfera, e la sua proiezione sferica coincide coll' immagine di Gauss delle 
linee di curvatura di 2. 
Ritornando al nostro caso particolare, il sistema coniugato (u , v) di S 0 è per¬ 
manente in una deformazione finita, e la questione enunciata al principio del paragrafo 
è così in effetto ricondotta a quella delle speciali superficie S 0 con sistema coniugato 
permanente di apparenza ortogonale, o insomma al problema stesso delle superficie 
isoterme. 
§ 54. 
Forinole per due superficie ( 2 , 2 ) polari reciproche 
rispetto alla sfera unitaria. 
Proseguiamo ora la nostra ricerca coll’analisi cercando di caratterizzare per le 
superficie richieste S 0 le loro superficie polari reciproche, introdotte colle nostre con¬ 
siderazioni geometriche. 
(*) Si ricordi che la reciprocità (come Tomografia) conserva i sistemi coniugati. 
