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Ma la curvatura K di I è K = 
7?i h 2 
hTh; 
, onde abbiamo la formola 
K K = 
W 4 
( 2 ?) ! { 
e siccome dalle (71), per la distanza W dell’origine dal piano tangente di 2 e pel 
quadrato 2p = S^* della distanza dell’origine dal punto di contatto abbiamo 
W = SxX = 
.2e = 
1 
W’ 
possiamo scrivere la formola precedente sotto la forma notevole: 
KK = (W.W) 4 = 
1 
1 
(2f) ! (2?)” 
in parole: 
II prodotto delle curvature di due punti corrispondenti P , P di due su¬ 
perficie 2 , 2 polari reciproche rispetto alla sfera unitaria di centro 0 eguaglia 
la quarta potenza ^ Qp^Q-p ^ ^ e inversa del prodotto delle distanze di 0 dai 
due punti corrispondenti. 
È anche da notarsi che se la superficie I è a curvatura negativa, indi anche 
la polare reciproca 2, le asiutotiche (reali) delle due superficie si corrispondono ed 
hanno tangenti mutuamente perpendicolari; inoltre alle asintotiche sinistrorse del- 
l’una corrispondono le destrorse dell’altra, e inversamente. 
§ 55. 
Le superficie della classe E — G = x ì + y* -1- z 2 
come polari reciproche delle S 0 . 
Ricerchiamo ora la condizione affinchè il sistema coniugato (u , v) di 2 , corri¬ 
spondente alle linee di curvatura di 2 , sia permanente in una deformazione finita 
di 2. Per questo cominciamo dal calcolare per la prima forma fondamentale 
E du 2 -f- 2F du dv -{- G dv 2 
i valori dei simboli di Christoffel. ciò che si fa subito, o dai valori (730 
( 1 ; ( ^ 5 
