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da cui integrando abbiamo 
> = D* + ^U , S* 
h 2 
— T )"2 i n * V 
+ wi v ’ 
con U funzione di u,,V funzione di v. Queste funzioni U , V non possono annullarsi, 
per quanto già abbiamo detto, ma disponendo dei parametri u , v possiamo renderle 
costanti ed eguali in valore assoluto all’unità; scriviamo quindi 
(75) 
| A* = I)"- + 
* W! 
Hf h\ 
W|.2 Q 
HI hi 
W l . 
+ f 
+ 
_hf_ 
w r 
hi 
.1 '*2 
WS ’ 
W\ — 1. 
Siccome poi deve essere A 2 J" 2 — D* D" 2 , ne risulta 
« -}“ e' Hf -f- ss . 2 q = 0 , 
indi «, e necessariamente di segno contrario, possiamo porre e' = —}- 1, e = —1, 
e perciò 
(7(3) HÌ-H* = 2 ? = a:* + y 2 + ^. 
Viceversa se la superficie 2 soddisfa a questa condizione (76) (per una conve¬ 
niente determinazione dei parametri u , v delle linee di curvatura) sulla sua polare 
reciproca il sistema coniugato (u , v) sarà permanente in una deformazione finita, 
poiché i valori tratti dalle (75) 
(77) 
Hg h\ 
J' = 0 , J" 
H. h t 
W 3 |/2 q 
soddisferanno, per i calcoli stessi eseguiti, alle equazioni di Codazzi, e manifesta¬ 
mente anche, per le (73 2 ), a quella di Gauss 
AJ" = DD". 
Concludiamo quindi: Condizione necessaria e sufficiente affinchè quel sistema 
coniugato (u , v) di una superficie 2 che si projetta sopra una sfera di centro 0 
in un sistema ortogonale sia permanente in una deformazione finita di 2 è che 
per la sua polare reciproca 2 rispetto alla sfera il sistema ( u , v) delle linee di 
curvatura sia tale che valga ( per conveniente determinazione dei parametri u , v) 
la formola (76) 
E —G = x 2 + y 2 + z 2 . 
Dalle forinole della inversione per raggi vettori recìproci è poi evidente che 
l’inversa di una superficie della classe (76) appartiene alla medesima classe. 
