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§ 56. 
Riduzione alle trasformazioni D m . 
L’analisi del paragrafo precedente ha ricondotto la ricerca delle speciali super¬ 
ficie S 0 con sistema coniugato permanente di apparenza ortogonale, rispetto ad un 
punto 0, a quella equivalente delle superfìcie della classe (76), essendosi dimostrato 
che: ogni tale superficie S 0 è polare reciproca, rispetto alla sfera di centro 0, 
di una superficie della classe (76) e viceversa. 
Nelle superficie della classe (76) si è incontrato appunto il Calapso nella Me¬ 
moria citata (*) ; esse sono in sostanza, nelle due dimensioni, le analoghe dei sistemi 
tripli ortogonali di Guichard-Darboux per lo spazio euclideo, nei quali i coefficienti 
del ds 2 = Hi du\ 4- Hi du\ -j- Hi dui soddisfano alla relazione 
«1 Hi + * 2 Hi + *3 h|L X * -f- y* + 
(««) = 1 • 
Ora è facile vedere che: ogni superficie della classe (76) è trasformata di 
Combescure di una superficie isoterma, e viceversa. 
E infatti da 
Hi — H| — 2p, 
derivando rispetto ad u , v risulta per le (A) § 10 e per le (48) § 20: 
H, ^ l = /? 12 H 2 H 1 + H 1 W, 
ìu 
h 2 ^- = ^ 21 h,h 2 -h 2 w 2 
ùV 
cioè 
DHt 
~òu 
AH. 
’ 7>v 
==/S 12 H 2 +W, 
= /? tl H, — W 2 , 
le quali, paragonate colle altre 
7>H, 
7)V 
= fin H 2 , 
f 1 ) Nel caso particolare che l'immagine sferica sia quella delle linee di curvatura di una su¬ 
perficie a curvatura media (o nulla) le superficie della classe (76) si sono già presentate nella mia 
Memoria: Sopra i sistemi tripli ortogonali trasformati di Combescure dei sistemi a curvatura 
costante (Annali di matematica, tomo XXIV, serie III, 1915). Vedi i §§ 13 e 15 dove si costitui¬ 
scono con queste superficie delle famiglie di Lamé. 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XII, Ser. 5*. 
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