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dànno subito per le condizioui d'integrabilità 
(78) 
~èfiìt 2 fin 
hv ~òu ’ 
e questa dice appunto che il sistema sferico (u . v) è l’immagine delle linee di cur¬ 
vatura di una superficie isoterma. Per la (78) possiamo porre infatti 
e allora, ponendo 
/?!,= 
1)U 
fin — 
ÌV 
si soddisfa in effetto alle condizioni 
ùH, 
cioè il 
= fin H 
^H 8 
2 1 
~ò 0 ' hu 
ds 2 = e 2ò (du 2 -f- do 11 ) 
— fi \2 Hi ? 
appartiene ad una superficie isoterma d'immagine sferica (u , v ). La seconda parte 
della proposizione si potrebbe dedurre dalle considerazioni stesse superiori, ma arri¬ 
viamo più rapidamente allo scopo osservando che se una congruenza conforme di 
Darboux, data dalle formole del § 51, si cangia con trasformazione di Combescure, 
secondo il § 43, in una congruenza di sfere ortogonali ad una sfera fissa, le due 
falde focali (2,2') apparterranno appunto alla classe (76). Per le (45*) § 43 
avremo infatti 
Hi == -f- fin Y 2 -f- h\W 
ùU 
H 2 = ~~ + fi\i Yi -f- h z w , 
dV 
ossia per le formole (D) § 51 
indi 
IL = m{e t 'a -j- e _ V) 1 H 2 = m(e ft o'— e~ ò <p) 
Hi — H| == 4 m 2 <pa. 
D’altronde per le coordinate x , y , ; di un punto di 2 abbiamo 
e perciò 
onde segue 
x = Yi X, -j- y 2 X 2 -{- wX 3 , 
Sx 2 = yì -f- yl -f- w 2 = 2 m(fG , 
ti* — H| = 2 m(x 2 + y 2 -f I 2 ), 
che è appunto una relazione della forma (76). 
