— 527 — 
Così abbiamo dimostrato che: Se una congruenza conforme di sfere di Dar 
boux si cangia per trasformazione di Combescure in una congruenza di sfere 
ortogonali ad una sfera fissa , le due move falde focali sono superfìcie inverse 
della classe (76). 
Possiamo ora invertire questa proposizione e dimostrare che: ogni congruenza 
di sfere con falde focali inverse della classe (76) è trasformata di Combescure 
di una congruenza di Darboux. 
Questo proviamo nel modo seguente. Abbiamo visto sopra che per una super¬ 
ficie della classe (76) si può porre 
e si ha in conseguenza 
(79) 
R n - 1)6 
7»Hj 
!u 
7)H, 
~ÒV 
ìì 
lu 
2>0 
1)V 
H , + W, 
H.-W, 
D’altra parte la relazione (76) può anche scriversi 
H? — H* = W? + W*-f- WJ, 
da cui, derivando rapporto ad u , v e utilizzando le forinole precedenti, risulta 
(80) 
hu 
W, 
= H, 
10_ 
!>v 
1)0 
W ? — A,W 3 
= H,—■ —- W, — h t W t . 
l>v lu 
Riunendo allora le equazioni (79) alle altre generali per la rappresentazione 
sferica, otteniamo per le cinque funzioni 
W 1 , W*, W 8 ; H,, H, 
il sistema seguente lineare omogeneo ai differenziali totali: 
1)0 
^ì. = h 1 -^w ! -*,w s , w, 
lu 1>V ^V 1)U 
lW t IO w 
— — W j 
!>u ~àv 
= H, — “ W, 
= hiWi 
dw 3 
Du 
55i = ^h, + w. 
1)U 1)U 
DH s __ DO 
\ hu hu 1 
== h t W* 
htW 3 
7)W 3 
7>y 
ì)Hi 1)0 
-= — n s 
1v l>v 
l>v Ay 
( 81 ) 
