Questo è un sistema completamente integrabile (*), coll’integrale quadratico 
W? + W* + W§ = Hf — H* -f C , 
e s’intende che, nel caso nostro, dei valori iniziali di Hj, H* ; Wi,W t ,W ? è 
disposto in guisa che la costante C del secondo membro si annulli. 
Ora si osserva che il sistema (81) non è altro ehe il sistema differenziale (D) 
§ 51 delle equazioni di Darboux ove si prenda m — \, e si ponga 
Hi = ! (« e tf + , 
n = W, , y,= 
E t = ±(e«<r-e-\) 
W 8 , w = W*, 
e quindi la nostra congruenza di sfere con falde focali inverse è appunto trasformata 
di Combescure della congruenza conforme di Darboux. c. d. d. 
In fine, ritornando alle superficie rotolanti S 0 nelle generazioni delle superficie 
isoterme 2 quali superficie di rotolamento, osserviamo che si è constatata la pro¬ 
prietà seguente : Le ‘proiezioni centrali sulla sfera , col centro nel punto satellite , 
del sistema coniugato permanente di S 0 sono le immagini delle linee di curva¬ 
tura di un'altra superfìcie isoterma 2. Il passaggio dalla superficie isoterma 2 
all’altra 2 costituisce una trasformazione delle superficie isoterme, indicata nei 
lavori citati al § 51 come associata alla trasformazione D m . 
§ 57 
Rappresentazioni conformi della sfera come trasformazioni . 
Il problema di trovare tutte le congruenze di sfere di Ribaucour che ammettono 
una deformazione finita si è ricondotto, con Calapso, alle trasformazioni D m delle 
superficie isoterme, nel qual caso nella congruenza deformata tutte le sfere passano 
per un punto fisso. Ora domandiamo di trovare se esiste una classe particolare di 
queste congruenze deformabili, nelle quali dopo la deformazione le sfere vengono 
tutte a toccare un piano fisso; queste saranno da considerarsi come duali delle con¬ 
gruenze di Darboux e daranno luogo a trasformazioni (di Ribaucour) delle superficie 
a rappresentazione isoterma delle linee di curvatura che furono particolarmente 
studiate da Eisenhart, le trasformazioni E m . » 
Il metodo applicato al § 50 per le D m è applicabile anche questa volta pel¬ 
le E m , ma ora bisognerà esprimere che il valore 
(') Si tengano presenti le relazioni: 
3à, 36 
3/s, 36 
