e s'intende che dei valori iniziali di y l , y 2 , w , o" deve essere disposto in guisa da 
annullare la costante del secondo membro, onde sarà 
(E*) y\ yl -j- w’ 1 = 2 mica. 
È bene da osservarsi che applicando le formolo per (XI. Xó. X 3 ) colla determi¬ 
nazione di segni scelta nelle (34) § 42, si ha una rappresentazione conforme diretta 
delle due figure sferiche, perchè ambedue le relative variabili complesse 
X 3 -f- i Y 3 
1 — Z 3 
x; 4- ìv t 
1 —zs 
riescono funzioni dell’argomento u — iv , soddisfano cioè alle equazioni concordanti 
di omogeneità 
~5t . Twr ~èr’ . Dr 
DM ~ÒV ' ~ÒU ~ÒV ' ‘ 
Che inversamente qualunque rappresentazione conforme diretta della sfera in sè 
dia una trasformazione di Ribaucour, abbiamo già dimostrato geometricamente al 
§ 44 [teorema a)], ed ora risulta implicitamente da che nelle nostre formole il si¬ 
stema isotermo (m,v) di partenza è affatto arbitrario. Ma di più veniamo ora a ri¬ 
conoscere l’ulteriore proprietà: In ogni rappresentazione conforme diretta della 
sfera in sè le linee principali della rappresentazione, cioè quelle le cui tangenti 
incontrano le corrispondenti dell'altra figura, formano un sistema ortogonale 
isotermo ( 2 ). 
Le trasformazioni conformi (dirette) della sfera in sè, in quanto sono date dalle 
formole (E), che suppongono fissato il sistema isotermo (u , v) delle linee principali 
della prima figura, e contengono la costante arbitraria m. si diranno trasforma¬ 
zioni Ej 
(*) Per verificare la prima si ricorra alle formole (ò) § 40 facendovi k t = h t — e ricordando 
che il valore del determinante ortogonale 
a causa delle (70*) § 51 si ha h\ 
X, Y, Z, 
9 Z 9 
X 3 Y 
X, Y ; 
h\ = 
3 Z 3 
e~^w 
è = —f-1 ; per la seconda si osservi che 
, però ora il determinante 
X', Y', Z', 
X'. Y', Z', 
X', Y' f Z' t 
è = — 1 (cfr. nota § 40. 
( 2 ) Secondo quanto è osservato al § 44, i circoli normali alla sfera nelle coppie P , P' di 
punti corrispondenti delle due figure formano un sistema ciclico. Le superficie ortogonali ai cir¬ 
coli sono le superficie a curvatura assoluta nulla della metrica non-euclidea. 
