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§ 58. 
Trasformazioni E m delle superficie a rappresentazione isoterma 
delle linee di curvatura. 
Pel modo stesso come abbiamo introdotto le trasformazioni E m della sfera in 
sè, risulta ora che se alle due ligure sferiche applichiamo una qualunque trasforma¬ 
zione di Cotnbescure, otterremo una congruenza di sfere di Ribaucour, che ammetterà 
una deformazione dopo la quale tutte le sfere verranno a toccare un piano fisso, e 
saranno d’altronde le più generali possibili dotate di questa proprietà. 
Le formole relative si otterranno nel modo seguente (§ 43). Prendasi una qua¬ 
lunque superficie 2, che abbia per immagine sferica delle linee di curvatura il si¬ 
stema isotermo dato della prima figura 
d* ,% = e 20 (du 2 -f- dv *). 
Questa 2 sarà definita dal suo ds 2 
ds 2 = Hf da 2 + Hi dv 2 , 
dove Hi , H 2 sono assoggettate soltanto a soddisfare le due condizioni 
(80) 
7)H, 7)0 7)H 2 7)0 „ 
-*--tl 2 J - JL1 
~òv ~dv Dm 7>m 
Successivamente si determini con una quadratura, che introdurrà una costante 
arbitraria, la quarta funzione trasformatrice (p (§ 43) da 
(83) 
7)<y 
~ìu 
= Hj Yl 
^=H, y* . 
La trasformata 2' di 2 mediante la quaderna trasformatrice (y x , y 2 , ic , g>) è 
la nuova superficie richiesta, che diremo dedotta da 2 per trasformazione E m ; le 
congruenze di sfere colle falde focali 2,2' sono le più generali richieste, 
Ora osserviamo che fra queste infinite coppie di superficie (2,2'), coll'asse- 
gnata rappresentazione sferica, ve ne è una coppia di superfìcie d’area minima. 
Questo potrebbe dedursi da ciò che fra queste coppie ve ne è una di superficie iso¬ 
terme le quali, dovendo essere in rappresentazione conforme fra loro, e nelle loro 
immagini sferiche, sono necessariamente ad area minima. Direttamente lo proviamo 
ponendo 
Hi = e~o , H, = —- 6*o, 
