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con che le (82) sono soddisfatte e la 2 è ad area minima. Dopo ciò, confrontando 
le (83) colle (E) deirultima linea, risulta 
<p = (f -f- eost. 
Se prendiamo precisamente y — <r , auclie la seconda falda 2' sarà ad area 
minima, anzi la corrispondente trasformazione E m non sarà altro che una delle tras¬ 
formazioni di liibaucour-Guichard studiate al § 46. Per vederlo basta paragonare 
le (E) colle formole del § 46 ove si ponga 
hi = hi = e 6 , Hi =— H 2 = é -9 , <p = <j 
• ^‘ = Tv • k= ~ m <> 
e i due sistemi di formole vengono cosi ad identificarsi. Possiamo quindi concludere: 
Le trasformazioni E m dette superfìcie a rappresentazione isoterma delle linee 
di curvatura sono tutte e sole le trasformate di Combescure delle trasformazioni 
di Ribaucour-Guichard per le superfìcie ad area minima. 
E in fine caratterizziamo completamente per questo caso le coppie (S 0 , S) di 
superficie applicabili corrispondenti ad una generazione E m di una superficie 2 a 
rappresentazione isoterma delie linee di curvatura colle considerazioni seguenti. 
Nella coppia (2,2 r ) la superficie d'appoggio S è precisamente la superficie S 
dei centri, e nella coppia di superficie minime (2 y , 2() trasformata di Combescure 
di (2,2') la superficie dei centri, che diremo P, è una deformata del paraboloide 
rotondo P 0 . Le due superficie S , P si corrispondono per parallelismo di normali, 
e si corrispondono i due sistemi coniugati permanenti (u , v) per la rispettiva defor¬ 
mazione di S in S 0 e di P in P 0 . Ma allora segue dal noto teorema di Petersen 
(voi. II, § 240) che anche S 0 , P» si corrispondono per parallelismo di normali e di 
sistema coniugato permanente (u , v). Dunque : Le superficie S d'appoggio sono 
quelle che hanno a comune con una deformata P del paraboloide l'immagine sfe¬ 
rica del sistema coniugato permanente; le superfìcie rotolanti S 0 presentano la 
medesima proprietà rispetto al paraboloide stesso P 0 . 
Si osservi poi che il sistema coniugato permanente (u , v). di S 0 rappresenta 
altresì il sistema cinematicamente coniugato e si projetta quindi (§ 17), sul piano 
satellite n (normale all’asse di P„) in un sistema ortogonale. Viceversa ogni super¬ 
ficie S 0 che possegga un sistema coniugato permanente progettato in un sistema orto¬ 
gonale sopra un piano n, è una superficie rotolante in una delle nostre coppie 
(S 0 , S), cioè: quando S 0 rotola su S il piano satellite n inviluppa una super¬ 
fìcie 2 a rappresentazione isoterma delle linee di curvatura. 
Si ottiene un caso particolare notevole quaudo per S 0 si prenda una qualunque 
superficie di traslazione con curve generatrici in piani perpendicolari, p. es. normali 
( l ) Appare cosi il significato della Costante Yn nelle (E) come quello del parametro del pa¬ 
raboloide rotondo nella costruzione di Guiclvard. 
