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due coni gemini e il suo derivato esprime benissimo la superficie dovuta ad una 
forma didima, ricordando al tempo stesso la località in cui si trova. 
Potendo nell’equazione (3) di questa superficie scambiare -\-z in — z la super¬ 
ficie stessa è simmetrica rispetto al piano xy. Facendo z = k si ottengono le equa¬ 
zioni delle curve d’intersezione del didimoide co' piani paralleli ad xy o piani lon¬ 
gitudinali. Queste curve che dirò curve longitudinali sono quindi date da 
(4) y = a -f- a' — A \/x 2 -f- k 2 — A' \/(x — D) 2 -j- k 2 
anche di quarto grado. Pel caso particolare z — k — 0 
(4 r ) y — a -f- a' =p Ax A!(x — D) 
equazione che co’ suoi doppii segni indica il complesso di tre rette, che per noi sono 
limitate ai segmenti OM . MN , NP della tìg. 4, e che furono già rappresentate dalle 
equazioni (1), (T), (1"). La ricerca diretta della funzione (4') fatta caso per caso 
nel piano longitudinale di simmetria elimina l’ambiguità dei segni. 
Di queste tre rette la mediana esiste sempre e per essa occorre prendere i segni 
~ +• Le rette laterali possono mancare o ridursi ad una sola. Per quella di si¬ 
nistra occorre ritenere i segni -|- -{- , e per quella di destra-.1 casi da 
considerare sono quindi 
sinistra 
media 
destra 
1. 
D r 
I) r’ 
una retta 
- + 
2. 
D < r 
D < r' 
tre rette. 
+ + 
- + 
— — 
3. 
D ^ r 
D < r' 
due rette 
+ + 
- + 
- 
4. 
D < r 
D Mr r 
due rette 
- 
- + 
— — 
Facendo nella (3) x — k si avranno le tracce dei piani verticali paralleli al 
piano yz o piani trasversali sul didimoide 
(5) y = a -\- a! — A ]/V -f /ri - A' f/(A — D) 2 +7 2 
equazione di quarto grado, che però nel caso di x = k — 0 si riduce al secondo : 
f f + (A 2 — A' 2 ) + 2A ys — 2 {a -f a') y -f 2AA ’z 4- C = 0 
che rappresenta un’iperbole. 
Finalmente se y — k si avranno le tracce dei piani orizzontali sul didimoide, 
cioè le curve orizzontali o curve di livello : 
(6) k = a -J- a! — A]/x^ -f- z 2 — A' ]/(x — D) 2 -{- z 2 
anche di quarto grado, 
