10 
Då en serie 
har alla sina termer positiva, vet man 
är convergerande eller divergerande, allt 
u . 
. • n+ i 
lim. - .... 
med visshet all den 
efter som 
.a) 
är mindre eller större än 1. Om denna limes är = 1, är 
convergensen oafgjord, och man måste, för att afgöra den¬ 
samma, taga sin tillflykt till andra criterier. Sådana hafva 
också blifvit uppgifna af flere mathematici; men, med undan¬ 
tag af några mera speciella reglor af Cauchy ( Cours d' Ana¬ 
lyse pag. 137), Duhamel ( Journal d. Lionville Tom. IV pag. 
214) m. fl. (hvi 1 ka i en otalig mängd fall lemna convergensen 
oafgjord) har man ej kunnat utan integral-caleulens tillhjelp 
bevisa desamma. Ett sådant förhållande har nödvändigt haft 
den olägenhet med sig, att läran om seriers convergens icke 
kunnat med någon fullständighet i ett sammanhang absolve- 
ras: ty de ofvannämde mera generella criterierna hafva icke 
i den algebraiska analysen kunnat framställas, ehuru för öf- 
rigt läran om seriers convergens der med rätta behandlas. 
I en förträffllig afhandling, som finnes införd i Liouvil- 
les Journ . des Math, pures et appl. Tom. VII pag. 37—43 
har Bertrand framställt en hel följd af reglor för bedömman- 
det af seriers convergens, hvilka på ett så fullständigt sätt 
complettera den öfriga läran derom, alt knappast något un¬ 
dantagsfall torde ega rum, så snart limes (1) har ett deter- 
mineradt värde. Sjelfva beviset är så enkelt och elementärt, 
att denna afhandling verkligen skulle häfva den hittills exsi- 
sterande olägenhet vid läran om seriers convergens, som vi 
ofvan antydt, nemligen att denna lära icke han med någon 
fullständighet i den algebraiska analysen absorberas; om man 
blott, utan integralcalculens tillhjelp , kunde afgöra när den 
series, som har till terminus generalis 
