Ii 
är convergerande eller icke; hvilken serie just utgör sjelfva 
grundvalen för Bkrtrands deduction. 
Det liar lyckais mig att bevisa några theoremer, med 
livilkas tillhjelp ett sådant afgörande blir utan svårighet möj¬ 
ligt, och genom hvilka , således jag vågar tro, att den Ber- 
trandska afhandlingen får ett förhöjd t värde. De äro: 
Theorem 1. Om, såsom vanligt är, med l^ beteck¬ 
nas Neper ska logar ithmen till x, och för korthetens skall 
sättes 
A (.r) : — ^(J\x)) j ^ (x) —W(,)) O. v * 
Så är alltid 
( 2 ) 
/(/>+D 
(n + D 
A7>+0 
( n) 
< 
n. ^(n )^ 2 (n) • • • • 
(n) 
forutsatt att n är så stor att A P) ^ är en positif cjvantitet . 
Beviset grundar sig derpå, att för alla positiva värden på x 
/(1 + Jt) < x. 
För p — o är riktigheten af formeln (2) ögonskenlig; 
och det låter med största lätthet bevisa sig att, om den är 
sann för p, densamma äfven gäller för p+[. 
Theor. II. Under samma antagande , som i föregående 
theorém är alltid 
(3) . . 
A>+0 
(«) 
l(P+ 
(«-»P 
nfn ) • A'(rt) .... bP 
\n) 
Beviset grundar sig derpå, att, då x<t, - — /(1— x) är en 
positif qvantitet och sådan att 
— I ( 1 —x) > x. 
Om formeln (3) gäller för p , gäller den äfven, om i stället 
för p sättes p-\- I. 
Theor . III. Med samma antaganden som i föregående 
theor einer är alltid , så snart <&>> I , 
Bevis. Emedan i allmänhet för positiva värden af x 
( 5 ). c* > 1 + x , 
