96 
omständigheten ? alt dit hör en stor mängd af de serier, 
hvilkas termini generales äro 
(1) . . . /’(//).sin w n och f (ji) .cos w n , 
der f (n) utgör den «:te ibland de positiva termerna. 
(2) . . . /(l),/(2), /(3), /(4), &c. 
och är så beskaffad att den indefinit aftager vid indefinit 
växande n. 
Det är ibland dessa serier (1) som helt nyligen en art, 
och just den allmännast förekommande, blifvit af Prof. Malm¬ 
sten i Kongl. Vetenskaps-Societelens ”Nova Acta” på ett af- 
görande sätt undersökt *). På grund af denna undersökning 
är man nu mera förvissad, att serier med termini generales 
(3) . . . f («). sin nw och f(n).cosnw 
äro convergerande för hvar je (upp gif v en) **) reel w-valör , 
som icke är af formen ±2l\7r (k helt tal eller noll). Denna 
art är för öfrigt, så vidt jag vet, ibland serier af formen (1) 
den enda, som hittills blifvit nöjaktigt undersökt. 
2. Vid en nyligen företagen undersökning om Binomial- 
Theoremets allmängiltighet, äfven för imaginär exponent i 
uttrycket (l-f.r)Jt' och då ^'-valörens modyl är enheten, har 
det lyckats mig att erhålla en något vidsträcktare utsigt öfver 
de i första raderna af denna uppsats omnämnda seriers gebiet. 
*) Nova Acta Ref'. Societ. Scient. Upsal. Vol XII: J, Nole sur la con¬ 
ver gence des Series j p. C. J. Malmsten”. 
**) Till undvikande af hvarje missförstånd af det följande, är nödigt 
erinra om ett i seric-theorien högst angeläget försigtighetsmått, men 
som icke desto mindre ofta nog befinnes åsidosatt, hvar.af ock liändt, 
att åtskilliga misstag i denna del af analysen äfven i sednare tider 
blifvit begångna. Om man nemligen lyckats ådagalägga j att en 
serie j hvars termer äro functioner af en cjvant. x_, är conver ge¬ 
rande ( divergerande) för hvarje uppgifven x-valör intill en 
viss gräns X; så må man icke förhasta sig med det påstående, att 
seriens conver gens (diver gens ) fortvarar äfven för x-valörer in¬ 
definit nära intill denna gräns. — Blotta denna erinran gör till¬ 
fyllest för att fixera betydelsen af sådana (i efterföljande theoreiner 
mötande) uttryck som ”att en serie är divergerande för hvarje posi¬ 
tivt x }> eller ”för hvarje negativt x’\ 
