324 
4 * Bidrag tili theorien om högre Differential- 
coefficienter, — Hr Malmsten föredrog: Redan för mer än 
ett och ett halft decennium sedan framställde Jacobi i Crelles 
Journal elt problem, som för den högre analysen är af den 
slörsta vigt, det nemligen, att finna generella expressionen 
pä n:te derivat an af (p (jx, y ), då y sjelf är en funktion af x. 
En fullständig solution af detta problem skulle, jemte det den 
fyllde en väsentlig lucka inom sjelfva differential-kalculens 
teori, äfven högst betydligt vidga gränsorna för dess appli¬ 
kationer på funktioners utveckling i serier, på teorien om de¬ 
finit a integraler o. s. v. Men oaktadt denna stora vigt, som 
det nämda problemet eger, står det ännu i dag i sin gene- 
ralité osolveradt, till följe af de stora svårigheter och kom¬ 
plicerade kalculer, som dermed äro förenade. 
•• 
Afven om man inskränker problemet till det, att finna 
generella expressionen på n:te derivatan uf (p (y), då y år 
funktion af x , så återstå tillräckligt många svårigheter, att 
det ännu synes öfvergå analysens närvarande krafter. Visser¬ 
ligen hafva för speciella fall flera vackra solutioner blifvit gifna, 
* 
hvaribland så väl för dess enkelhet som dess vigt i främsta 
rummet bör nämnas Jacobis märkvärdiga formel för (n — l):te 
derivatan af (1 — x 2 ) 5 j men den förste mig veterligen, som 
gripit det ofvannämde problemet an, visserligen långt ifrån i 
dess fulla allmänlighet, dock mera generellt än andra, är Prof. 
Schlömilch i Jena, hvilken för nära ett år sedan i en i Crel¬ 
les Journal införd afhandling uppgaf generella expressionen 
på n:te derivatan af (p (y) för de tvenne fall: y=x r och y=e x . 
Föranledd af de vackra resultater, hvartill Schlömilch 
kommit, försökte jag redan i början af innevarande år, om 
icke genom samma metod, som han begagnat, det skulle 
j* OC 
lyckas, att äfven för andra funktionsformer, än y~x ocny=e , 
finna den ifrågavarande generella derivat-expressionen. Men 
Schlömilchs metod var dock så speciell för dessa funktions¬ 
former, att, med undantag af en enda y— log#, dertill föga 
gafs någon utsigt. 
