I 
l:o En expression på (n — i):te derivatan af (t+x 2 ) n *, som 
utmärker sig för en enkelhet, nästan lika stor, som den mot- 
svarande Jacobiska formeln för (1 — x) 
+ X^—i 
2:o Utveckling af (l+£c)“ efter stigande digniteter af 
x, deri inga imaginära binomial-coéfficienter förekomma. 
3:o Ut veckling af n:tc digniteten af en båge efter stigande 
digniteter af dess tangent. En sådan utveckling har förut en¬ 
dast varit känd för bågens första dignitet. För bågens qvadrat 
erhålles en ganska enkel formel, som förtjenar särskilt anmär¬ 
kas. Den är för utvecklingen efter tangentens digniteter hvad 
den bekanta Stainvilles formel är för utvecklingen efter di- 
srniteterna af Sinus. 
C* 
4:o Utveckling af funktionen y=x x efter digniteterna af 
loga?. Den gifver, medelst en för alla positiva värden på x 
convergerande serie, värdet på y , och completterar således den 
i Crelles Journal införda uppsatsen af Eisenstein, som fram¬ 
ställer den omvända solutionen, d. v. s. gifver det värde på 
x som svarar emot ett gifvet, inom vissa gränser liggande, 
värde på y. 
5:o Tvenne symboliska expreSsioner, hvarpå jag vågar fästa 
en särskilt uppmärksamhet: en på r:te differensen af en funk¬ 
tion hvilken som helst, uttryckt i de successiva derivatorna: 
den andra på r:te derivatan, uttryckt i de successiva diffe¬ 
renserna. Det är bekant, att förut tvenne sådana expressio- 
ner finnas, som visserligen bestämma formen på de ifrågava¬ 
rande expressionerna, men åter hänskjuta frågan om de nu¬ 
meriska coefficienterna — hvilkas finnande just medför de 
största svårigheterna — till en ny undersökning, hvilken 
dock hittills icke fullständigt blifvit genomförd. Deremot 
gifva de af mig deducerade formlerna icke blott den sökta 
formen, utan äfven den fullständiga bestämningen af de nu¬ 
meriska coefficienterna. Dessa expressioner kunna dessutom 
med tillhjelp af den af Cauchy inventerade Residu-calculen 
presenteras under en högst enkel form. 
