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Teoria delle potenze, dei logaritmi e delle funzioni di composizione. 
Memoria del Socio VITO VOLTERRA 
INTRODUZIONE. 
Nella mia Nota del 1910: Questioni generali sulle equazioni integrali ed 
integro-differenziali Q), ho introdotto il concetto di composizione e di permutabilità 
delle funzioni, ed ho stabilito le basi della teoria, che ho poi continuato in succes¬ 
sivi lavori e riassunta nelle lezioni tenute alla Sorbona nel 1912 ( 2 ). La composizione 
e la permutabilità possono essere di i a e di 2 a specie ; ma, poiché nella presente 
Memoria mi occupo solo della composizione e della permutabilità di l a specie, così 
mi riferisco ad esse soltanto. 
Varii altri autori hanno in seguito portato notevoli contributi a queste ricerche, 
e fra essi citerò i professori Evans e Pérès, i quali hanno compiuto in questo campo 
lavori sistematici. 11 primo ha svolto specialmente l 'algebra delle funzioni permu¬ 
tabili, ed il secondo ha approfondito lo studio dell s funzioni permutabili analitiche. 
Tuttavia è manifesto che la teoria generale dei gruppi di funzioni permutabili 
è ben lungi dall’essere completa, e che sono necessari nuovi sviluppi in varii sensi 
per compierla. Scopo dell’attuale scritto è di dare l’indirizzo di uno di tali sviluppi. 
Perciò, dopo aver ricordato nel 1° capitolo alcuni resultati sulle potenze intere 
di composizione ed averne esposti altri sui gruppi di funzioni permutabili , nel 
capitolo successivo procedo a svolgere in maniera sistematica la teoria generale delle 
potenze fratte ed incommensurabili di composizione , delle funzioni di ordine fratto 
ed incommensurabile e delle loro operazioni. È questo il primo passo che conviene 
far seguire allo studio delle potenze intere, per iniziare le ricerche contenute in 
questa Memoria. In tal modo vengo ad estendere il campo delle equazioni integrali 
a cui sono applicabili i risultati esposti nel cap. XI delle mie citate lezioni. Debbo 
osservare che nella mia Nota del 1910: Sopra le funzioni permutabili ( 3 ), avevo 
già mostrato come potesse ottenersi, mediante una funzione che diviené infinita, la 
potenza \ di una funzione del 1° ordine. Questo resultato, sebbene costituisse nel 
H Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. Seduta del 20 febbraio 1910. 
( 2 ) Lefons sur les fonctions de lignes, professées à la Sorbonne. Paris, Gauthier-Villars, 1913. 
( 3 ) § 4, n. 17. Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. Seduta del 17 aprile 1910. 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XI, Ser. 5 a . 
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