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suddetto lavoro un esempio isolato, conteneva in germe il procedimento da seguire 
per lo studio generale delle potenze fratte di composizione. 
La composizione di due funzioni f e <p consiste nella operazione 
ed essa è simile, sotto molti aspetti, alla ordinaria moltiplicazione, come è diffusa- 
mente mostrato nei miei precedenti lavori. La operazione inversa, quella cioè di 
ricavare una delle due funzioni componenti, quando si conosca l’altra e la resultante, 
cioè la funzione che nasce dalla precedente integrazione, è analoga alla divisione. 
Di qui scaturisce il concetto di frazione di composizione e, quindi, di potenze 
negative di composizione. Già avevo accennato, per la prima volta, all’ idea di fra¬ 
zioni di composizione nelle mie lezioni del 1912 alla Università di Princeton N. J. (*). 
In esse avevo dato, per esempio, la regola per sommare più frazioni di composizione 
mediante la loro riduzione allo stesso denominatore. Ma uno svolgimento sistematico 
di questo argomento si trova nel cap. Ili della presente Memoria, ove il concetto 
stesso viene sviluppato coordinandolo alla teoria generale delle potenze di com¬ 
posizione. 
Nel corso di questa trattazione ho potuto colmare una notevole lacuna con la 
introduzione della potenza di composizione di esponente zero. È ben vero che io 
stesso con una speciale definizione e, più tardi, il prof. Evans con- una opportuna 
scelta di unità, avevamo cercato sopperire alla mancata introduzione della potenza 
nulla ; ma, non vi ha dubbio, che la considerazione esplicita di questa potenza, intro¬ 
dotta per la prima volta nella presente Memoria, rende molto più semplici le for¬ 
mule e più spedito ed uniforme tutto il calcolo sulle funzioni permutabili. Le po¬ 
tenze negative e nulle e le frazioni di composizione costituiscono il secondo passo, 
dopo quello delle potenze fratte ed incommensurabili, lungo la via da percorrere per 
stabilire una teoria uniforme delle potenze nel campo della composizione. 
Gli ultimi elementi introdotti sono effettivamente delle espressioni formali ; 
tuttavia ho molto insistito in questo capitolo sulla assenza completa di formalismo 
in tutti i resultati raggiunti nel presente scritto, giacché ho mostrato che quelle 
formule che possono sembrare formali perdono subito questo loro apparente carattere 
mediante la loro composizione con una opportuna funzione. 
Ho dato nello stesso cap. Ili, come esempio suggerito da questo speciale punto 
di vista una trattazione della teoria dei limiti nel campo delle funzioni permutabili. 
Osservo, però, che si tratta solo di una preliminare trattazione di questo argomento, 
giacché esso avrebbe meritato un più largo e completo sviluppo. Ma un tale svolgi¬ 
mento mi avrebbe condotto molto lontano dal principale scopo che avevo dinanzi. 
Il quale viene ripreso nel capitolo successivo, ove incomincio lo studio dei lo¬ 
garitmi di composizione. Siccome dalle considerazioni precedenti discende 1’esistenza 
di un sèguito indefinito di potenze di composizione di una funzione procedenti per 
(*) The Theory of permutable Funetions by Vito Volterra, Lectures Dolivered at Princeton 
University, October 1912. 
