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esponenti che vanno da — oo a -j- oo, così questi esponenti possono riguardarsi come 
i logaritmi di composizione, quando si prenda come base la funzione stessa. Tale 
idea si presenta naturalmente e non offre difficoltà, allorché si è in possesso dei pre¬ 
cedenti risultati; ma essa è ben lungi daH’esaurire la questione e dal mostrare 
la portata della teoria. Invece la costituzione completa di questa è cosa molto più 
difficile. Ho dovuto introdurre nel campo della composizione un concetto analogo al 
fecondo concetto, escogitato 300 anni fa da Nepero, della base dei logaritmi naturali, 
ed ho dovuto in seguito definire le potenze di composizione aventi per esponenti 
le funzioni appartenenti al gruppo per potere, senza ostacoli, estendere i limiti della 
teoria ed allargare il campo di ricerche a cui guida T idea dei logaritmi di com¬ 
posizione. Ciò vien fatto nel cap. V nel quale giungo ad ottenere il logaritmo di 
composizione di una funzione prendendo per base un’altra funzione qualsiasi appar¬ 
tenente allo stesso gruppo di funzioni permutabili. 
Quest'ultima questione conduce a nuovi problemi sulle equazioni integrali di 
l a specie del mio tipo il cui nucleo contiene dei termini logaritmici. Ho dedicato 
il cap. VI alla risoluzione di questi problemi. Le soluzioni ottenute, che spero po¬ 
tranno offrire interesse anche indipendentemente dall'oggetto di questa Memoria, 
sono un complemento necessario alle ricerche, fatte nel cap. V, sulla teoria dei loga¬ 
ritmi di composizione. 
La parte più generale dei presenti stridii è costituita dal successivo cap. VII 
il quale tratta della derivazione e della integrazione di composizione e delle fun¬ 
zioni di composizione. È facile il mostrare che, per giungere a queste operazioni ed a 
questi enti, si può seguire una via che muova dal concetto dei logaritmi di composizione. 
Infatti, nella ordinaria analisi si passa dalle funzioni razionali alle logaritmiche me¬ 
diante la integrazione del differenziale razionale Esiste una operazione analoga 
che possa portarci dalle potenze razionali di composizione ai logaritmi di composi¬ 
zione? Una volta posta questa questione, si è condotti ad immaginare il calcolo diffe¬ 
renziale ed integrale di composizione, e per far ciò, conviene operare sulle funzioni 
di composizione, delle quali bisogna stabilire il concetto generale e definire le pro¬ 
prietà. Tutto questo rende necessario risalire ai principii generali della teoria delle 
funzioni di linee, ai quali i precedenti elementi sono intimamente connessi. Si com¬ 
prende quindi che si è così guidati da un campo più ristretto ad un altro più vasto 
e più generale di ricerche. 
A questo punto mi permetto osservare che già un primo cenno delle funzioni di 
composizione e del loro legame colle funzioni di linee si trova in una delle mie 
prime Memorie del 1896 sulle equazioni integrali f 1 ). La funzione particolare ivi 
considerata corrispondeva ad uno dei casi più semplici, cioè ad una funzione di com¬ 
posizione lineare fratta , ed essa compariva nel suo sviluppo in serie; ma l’essenziale, 
per lo spirito delle presenti ricerche, sta nell'averla allora riguardata alla luce delle 
idee, già da me, in precedenza ( 2 ) esposte, sulle funzioni dipendenti da altre fun- 
l 1 ) Sulla inversione degli integrali definiti, § 3. Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 
seduta del 15 marzo 1896. 
o Nel 1887. 
