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convergente per |s|<R, la serie 
a \ f ~b a ì f 2 “I - a 3 / 3 ~|" 
è uniformemente convergente comunque sia il modulo della funzione /, purché questa 
funzione sia Unita, e la sua somma è permutabile con f. Il teorema si estende al 
caso di serie di potenze di più variabili ('). 
5 Supponiamo m intero 
ip{x . y) = (y — x) m f(x , y) , 
ove f(x , y) è finita e continua, e 
f{x ,x)%0 
si dice di ordine m -f- 1 . 
La resultante di due funzioni di ordini m ed n è di ordine m -\-n, e la 
potenza di composizione di grado m di una funzione di ordine n è di ordine m n . 
6. Conoscendo una funzione (p di ordine 1 permutabile con ip di ordine m, po¬ 
tremo calcolare una funzione 6 di ordine 1, la cui potenza di composizione m è eguale 
a ip ammesso che f e (p siano derivabili m volte e le derivate siano finite. Scriveremo 
6 = xp m ( 2 ) . 
7. Siano a(x) e (i(x) due funzioni fluite e continue che non si annullano. 
Poniamo 
dx . 
—— clx i -, 
da cui si ricavi 
a{x) p(x) 
x x — , x = fi(Xi) 
Formiamo quindi la funzione 
«(*) M t\ x » V ) » 
ed in essa sostituiamo ad x e y respettivamente n(Xi) e /t(^i) ottenendo 
fi(xi ,yi ) = a(x) P{y)f(x,y) . 
1 
Se in 
1 
a(x) p(x) 
pi{Xi). Avremo 
sostituiamo ad x. ottengansi respettivamente ai{xi) e 
dx ! 
—--—r -r = dX 
f(x , y) = ai{Xi) pi{yi)fi{xi , y 0 ■ 
(■) Vedi V. Volterra, Lepons sur Ics fonctions de lignes. Paris, Gauthier-Villars, 1913, 
Chap. IX, § 10. 
( a ) Ibid., Chap. XI, § 8. 
