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Supponiamo ora che la stessa trasformazione applicata a f(x , y) si applichi a 
ip(te , y) ricavandone <P\(x x ,yf) e che ? = J u(£ 1 ). Avremo 
«(*)/%) f /(* » f) <p(£ 1 y) = f P(y) fi x i£)<p{£’V)^) 1 
2/i 
= ! A(^i, fi) 9>i(fi, yO rffi 
Ne segue che la resultante di due trasformate è la trasformala della resultante, 
e per conseguenza una potenza di composizione di una trasformata è la trasfor¬ 
mata della potenza di composizione della primitiva , e finalmente che la trasfor¬ 
mazione indicata precedentemente non altera la permutabilità , ossia trasforma un 
gruppo di funzioni permutabili in un nuovo gruppo di funzioni permutabili. 
8. Data una funzione , y) di grado 1 si possono trovare tutte le funzioni 
permutabili con essa. A tal fine si può dapprima ricondurre la questione al caso 
in cui 
( 1 ) 
F(£C , x) — 1 
Infatti, se F {x , y) non soddisfacesse a queste condizioni, per mezzo di una trasfor- 
maziono del tipo di quelle considerate precedentemente, si potrebbe sempre ridurla 
a verificare le condizioni stesse scegliendo convenientemente a(x) e §(x) ('). Diremo 
che una funzione F che soddisfa le (1) è ridotta alla forma canonica. La solu¬ 
zione viene poi data (supponendo f e le sue derivate di 1° e di 2° ordine finite e 
continue) mediante la formula 
( 2 ) 
'y-x 
Hy — ®) + | A(£) ®{§\x , y) d$ 
ove X è una funzione arbitraria e d> si calcola dalla F e dalle sue derivate prime 
e seconde ( 2 ). 
Prendendo X finita e continua la (2) ci fornisce una funzione finita e continua. 
La funzione gode della proprietà 
(3) <P(y — x\x.y) = 0. 
(•) Op. cit., Chap. XI, §§ 1, 2. 
( 2 ) La funzione <£(f| x ,y) si ottiene nel modo seguente. Si comincia dal calcolare la funzione 
&(n\x ,y) — ^ n U< n {r]\x ,y) 
della pag. 104 dell’opera citata: Legons sur les fonctions de lignes, quindi si ha 
£j# 
òy 
I X , y) = ^ — f{x + f. y) — P 
J x- 
y .ri) J., , , 
-^- Mv,y) dy, 
x+è, 
ove fì{x ,y) ha lo stesso significato che si è dato a questa funzione nella pag. 162 dell’op. citata. 
