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9. Due funzioni finite permutabili con F sono permutabili fra loro ( 1 ). Infatti, 
se F è una funzione analitica di x e y e X pure, dalle (2) si ricava una funzione 
analitica di x,y. Ma le funzioni analitiche permutabili con una terza sono per¬ 
mutabili fra loro ( 2 ), quindi tutte le funzioni ricavate dalla (2) saranno permutabili 
fra loro quando X sia analitica. Ora qualunque funzione finita e continua X può 
ottenersi come limite di un polinomio il quale tende a X in modo uniforme. Segue 
da ciò che, se si prendono le X continue e finite, si trovano, applicando la formula (2), 
delle funzioni permutabili fra loro. Ne viene quindi che deve soddisfare la condizione 
rv-l, 
(4) |», y — f 2 ) -f- <*>(?* 1^ + x , y) + „ \v » y) ®(£i \ x » v) d v 
= <Z>(£ 2 |a: , y — Si) + #(£1 |£* + x ,y) + ! . *<*>(?! \v , y) , g) dy . 
Se F è finita e continua senza essere analitica basta che possa ottenersi insieme 
alle sue derivate dei primi due ordini respettivamente come limite uniforme di un 
polinomio e delle sue derivate, perchè la corrispondente (4) debba esser verificata 
e per conseguenza la (2) ci fornisce delle funzioni che sono fra loro permutabili. 
IO. Dalle (2) e (3) segue, se ip(x,y) è permutabile con F(x,y) e X è derivabile, 
*P{X , y)oc=y = COSÌ 
1 1. Un gruppo di funzioni permutabili è individuato da una funzione di 1° or¬ 
dine avente le derivate prime e seconde determinate e finite. Per conseguenza quando 
noi considereremo un gruppo di funzioni permutabili, noi ammetteremo sempre che 
ci sia nota una funzione del 1° ordine appartenente al gruppo avente le derivale 
l e e 2 e determinate e finite. Chiameremo questa funzione una funzione fondamen¬ 
tale del gruppo. Allorché una funzione fondamentale del gruppo ha la forma cano¬ 
nica, il gruppo si dice gruppo canonico. 
12. Un gruppo notevole di funzioni permutabili è il gruppo del ciclo chiuso ( 3 ) 
formato dalle funzioni della forma 
f{y — *). 
L’unità appartiene al gruppo del ciclo chiuso e si riconosce immediatamente che 
* 
[m — 1)! 
(y — «)' 
l 
(') Questo teorema è stato dimostrato dal sig. Vessiot in modo diverso da quello che qui segue. 
Cfr. op. cit., Chap. XI, § 5. 
( 2 ) Questa proprietà resulta facilmente dai resultati ottenuti dal sig. Pérò's per le funzioni 
permutabili analitiche. 
( 3 ) Cfr. op. cit., Chap. VII. 
