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CAP. II. 
Potenze fratte (li composizione - Potenze incommensurabili - Ordine fratto 
ed incommensurabile delle funzioni di un gruppo. 
1. Se (f è del primo ordine e ci proponiamo il problema di trovare f tale che 
non si potrà ottenere nessuna soluzione finita. Però il problema potrà risolversi me¬ 
diante funzioni che divengono infinite mantenendosi integrabili. 
Perciò dimostriamo che se ipi{x i V ) è una funzione di primo ordine e 
0” è di primo ordine. 
Infatti avremo 
ove 
ip. 2 (x ; y) 
" 1 
0 
d(x , y) = 
Vb(#> y) 
n —1 
(y — x) n 
x, 'Pàx , y) 
" - re-2 ’ 
(y — x) n 
ty\{x • x + (y — x) rj) ip^x -f- (y — x) rj , y ) di] 
/i—1 ri —ì 
t] n (1 — rj) n 
per conseguenza ip 2 è finita e continua al pari di ifj L , e quindi è di 1° ordine. 
Analogamente si riconosce che 
h _ , y) 
° n—Z 1 
(y — x) n 
ove xp 3 (x , y ) è una funzione di 1° ordine, e così di seguito, onde 
è n = d’n(x , y) 
è una funzione di 1° ordine. 
Si vede facilmente che, se i/q ammette le derivate finite e continue fino ad 
un certo ordine, lo stesso avviene per ip 2 . ip 3 ,..., ip n . 
2. Supponiamo che 0 sia permutabile con y>, e </> e ip ammettano le derivate 
prime finite e continue. In tal caso il calcolo di f che verifica la (1) si eseguisce 
facilmente. 
Osserviamo dapprima che xp n deve essere permutabile con cp, giacché 
* * * * * * * * * # 
b n (p — 0 ”-* cp 0 = 0 11 - 2 (fi e 2 = • • • = y e n . 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XI, Ser. 5 a . 
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