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ove [*()]) è una funzione analitica che non si annulla per rj — 0, otterremo un'altra 
espressione per 0 di cui ci si può pure valere nelle formule (5) e (3) ; e così pure 
si può in altri infiniti modi cambiare X. Ci si può chiedere se si giunge sempre 
alle stesse soluzioni date dalla (3), o se possono ottenersene delle nuove. 
Noi osserveremo per ora che tutte le soluzioni che così si ottengono sono, in 
virtù della relazione (4) del Cap. I. permutabili fra loro. 
4. Le formule, che abbiamo date, ci conducono necessariamente ad estendere la 
nozione di ordine (vedi Cap. I, § 5). 
Se <p(x , y ) è di primo ordine e 
f{x , y) = {y — xY (f{x , y ), 
f si dirà di ordine determinato a -J-l. Le funzioni 6 e / dei §§ precedenti di questo 
Capitolo sono quindi di ordini -. La funzione <${x , y) si dirà la caratteristica di 
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f(x , y), e (f(x , x) si dirà la sua diagonale. 
Se una funzione 
f(x » y) = {y — x Y y(* » y) » 
e V>( x > y) è finita e continua, mentre 
<p(x , x) = 0 , 
f si dirà di ordine superiore ad a -f- 1. In tal modo tutte le funzioni di ordine 
determinato /? sono di ordine superiore ad ogni numero inferiore a (i, ma possono 
esistere delle funzioni di ordine superiore a y e che non hanno alcun ordine deter¬ 
minato. Per esempio, la funzione 
{y — x )”- 1 log (y — x) <p{x , y ), 
ove (p(x ,y)v di primo ordine, non ha alcun ordine determinato, ma è di ordine 
superiore a n — s , essendo s un numero positivo qualsiasi. 
Se xp(x , y) e g>(x , y) non hanno ordini determinati, ma 
, y) 
(;V ~ X Y <f( x i y) 
è sempre inferiore ad un numero finito, essendo a positivo, si dirà che ip(x , y) per 
rapporto a <p(x , y) è di ordine non inferiore ad a . 
Le operazioni di composizione saranno evidentemente applicabili alle funzioni 
il cui ordine è maggiore di un numero positivo, e tali saranno le funzioni che pas¬ 
seremo a considerare. 
Per ottenere una funzione di ordine determinato r appartenente ad un gruppo 
di funzioni permutabili basterà, nella formula (2) del Cap. I, porre 
Hv) = v r y(v) » 
ove /x è determinata e finita, e non si annulla per rj = 0 , 
