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Se due funzioni sono di ondili determinati a e p, la loro resultante sarà di 
ordine a P . Infatti, se (f t e y> 2 sono di 1° ordine 
A = (y — aO a_1 sp,(a:, y) 
A = (y — x)^~ l <p*{x , y) 
A A = (y — — v)^~ l 9i{x .x-\-{y— x)g) <pM-\-{y — x) g,y)di], 
-0 
onde posto 
, y) = ( 'A'H 1 — 9^1 ® + (y — x) ri) (p 2 (x -f (y — *) r i , y) < 
sarà 
E avremo 
A A = (y — a 0* +p_1 , y) • 
r(a)r(p) 
ip(x , se) = y>,(se, se) y> 2 (sc, se) 
r ( « + /?) ’ 
quindi ip sarà di 1° ordine. Collo stesso procedimento si dimostra che se una delle 
due funzioni è di ordine superiore ad a. e l'altra di ordine eguale o superiore 
a p, la loro resultante sarà di ordine superiore ad a - p. 
La funzione xp potrà derivarsi tino all'ordine a cui possono derivarsi g x e (p 2 . 
È evidente che la proposizione non esige che A e A siano permutabili. 
Se una funzione è di ordine r , la sua potenza n esima sarà di ordine nr\ e se 
chiamiamo G(se , y) e L(sc, y) le loro caratteristiche avremo 
L 0*»*) = f(w) 
Se la funzione fosse di ordine superiore ad r. la potenza n esima sarebbe di ordine 
superiore a nr. 
5. Dimostriamo il teorema: Se due funzioni di ordini determinati a carat¬ 
teristiche derivabili sono permutabili, il rapporto delle diagonali elevate a potenze 
di grado eguale all'inversa del respettioo ordine di ciascuna funzione è costante. 
Abbiansi infatti le funzioni permutabili 
(y — aO a -‘ f(x i y) i (y — xf- 1 y(* » y) 
degli ordini positivi a e p. 
Sarà 
f A- x)*~ l f{x , £) (y — £) p "‘ y(f, 1) d£ = 
'Jet? 
= (y — xY + $~ l f /(se , a -f (y — i?) >/) <p(x -f (y — a?) g , y) //“-*( 1 — v) fl_1 dg , 
