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tale che la funzione implicita £ 2 ( 3 i) abbia un punto critico in g l =Q. Ora nella 
trattazione era sempre supposto che cP fosse una funzione di ordine tale che la 
soluzione della (9) fosse finita, cioè F resultasse di 1° ordine o di ordine superiore, 
e lo stesso si dica per la soluzione della (10). Tali limitazioni possono adesso to¬ 
gliersi, giacché abbiamo imparato a calcolare soluzioni delle (9) di ordine fratto. 
Analoga osservazione può farsi per la risoluzione di equazioni integro-differen- 
ziali ottenuta mediante l'applicazione del teorema del § 2 del Cap. X dell’opera 
ora citata, il campo di applicazione del teorema stesso viene quindi esteso al caso 
in cui resultino soluzioni di ordine fratto. 
CAP. III. 
Potenze nulle e negative (li composizione - Frazioni di composizione - 
Limiti di funzioni permutabili. 
1. Come in aritmetica si introducono le frazioni, e le potenze negative dei 
numeri interi, così nel campo delle presenti ricerche conviene introdurre le frazioni 
di composizione e le potenze negative di composizione. Per giungere ad esse si pos¬ 
sono seguire varii procedimenti prendendo per guida quelli che si sogliano usare in 
aritmetica per ottenere le frazioni. 
Fissiamo le idee: In aritmetica (nel campo dei numeri interi) si può passare 
dalla moltiplicazione per 2 alla divisione per 2, chiamando questa operazione la 
ricerca (quando è possibile) di un numero che, moltiplicato per 2, riproduce il numero 
dato. Ma la operazione di divisione per 2 si può intendere come una moltiplicazione 
introducendo l’ente {, e chiamando divisione per 2 la moltiplicazione per L’ente \ 
ha così un senso formale, ma tosto che lo moltiplichiamo per un numero pari qual¬ 
siasi 2 n il resultato n cessa di essere formale. 
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In modo analogo si può introdurre un ente la cui composizione con fg> dia 
per resultato y>. È evidente che esso avrà un carattere formale analogo a quello 
della frazione precedentemente considerata, ma tale carattere si perde allorché lo com- 
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poniamo con una funzione qualsiasi di tipo fip, ottenendosi per resultato ip. 
In questa maniera però, come in aritmetica non si otterrebbero che le inverse 
dei numeri interi, così nel campo della composizione si avrebbero soltanto frazioni 
speciali. Per conseguenza onde ottenere subito quelle più generali seguiremo un'altra 
via. Precisiamone senz'altro il principio. 
In aritmetica si può ancora giungere alle frazioni con una estensione del campo 
dei numeri introducendole, dopo i numeri interi, come nuovi enti dei quali si defi¬ 
niscono l'equivalenza e tutte le operazioni che si eseguiscono tra di loro e coi 
numeri interi. Se non usciamo dal campo dei numeri interi questi enti sono formali, 
ma tutti i calcoli e tutte le proposizioni in cui essi figurano perdono, quando si 
voglia, il carattere puramente formale, purché si moltiplichino per un conveniente 
numero intero e rappresentano effettive relazioni tra numeri interi. 
