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Noi opereremo precisamente nello stesso modo per introdurre le frazioni di 
composizione, e S9 hanno un carattere formale, può anche per esse ripetersi quello 
che sopra si è detto, cioè si possono comporre queste frazioni con una conveniente 
funzione in modo da far perdere a tutti i resultati il carattere formale, ottenendo 
relazioni tra funzioni. 
2. Ma prima ancora noi dobbiamo introdurre l’elemento corrispondente a quello 
che in aritmetica costituisce l’unità di cui. nel campo della composizione, non siamo 
ancora in possesso. 
Sia f[x , y) una funzione appartenente ad un gruppo di funzioni permutabili. 
È ben noto che cosa si intende per comporre una funzione del gruppo con f ( 1 ). Com- 
* 
porla con f~ l si intenderà fare l'operazione inversa, cioè trovare una funzione che 
composta con f riproduca la funzione data. Se ora componiamo la funzione prima 
% 
con f e poi con f 1 ciò equivale a mantenere la funzione inalterata. Ora 
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ff-' = r 
sarà un nuovo ente che noi introdurremo Jiel gruppo definendolo in modo che com¬ 
posto con qualsiasi funzione del gruppo la mantiene inalterata. È questo l’elemento 
che corrisponde all’unità. 
* 
La proprietà di f° sono date da 
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ff“=f . (/•)”=/" ■ (/•)-'=/" , r=<f", 
essendo f e </> funzioni appartenenti al gruppo, ed essendo a una costante 
(ah (/) = «/ 
(a/° -f- b /’) (cf° -}- d(p) = ac*f° -f- ad(p -\- he f -\- bd f <p . 
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Di qui si ricava che af° -j- bf non ha che un senso formale, ma esso lo perde acqui¬ 
standone uno effettivo, purché venga composto con una funzione qualunque del gruppo. 
* 
L’introduzione della f° semplifica molto le formule che abbiamo dato nei lavori 
pubblicati fin qui sulla teoria delle funzioni permutabili (cfr. op. cit., pag. 188). 
Inoltre permette di considerare, per esempio, una serie 
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* * f 2 
F|[/l = /-° + / + ^+ 3J + --- 
per cui si ha il teorema d’addizione integrale 
^|[/+Ì]|-F|[/]|F|MI, 
che ha una forma più semplice di quella data a pag. 159 dell’opera citata. 
O Cfr. Gap. I, § l 
