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e anche 
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il 
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11. Riassumendo, la teoria aritmetica delle frazioni può trasportarsi nel campo 
della composizione. 
Gli elementi 
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ip 
f 
?-l 
r 
possono includersi nel campo di un gruppo di funzioni permutabili. Essi non hanno 
più il significato di funzioni nel senso ordinario , ma tutte le operazioni colle 
loro proprietà associative, commutative, distributive possono estendersi agli ele¬ 
menti stessi. Perciò possono chiamarsi essi pure funzioni appartenenti al gruppo 
delle funzioni permutabili date , e ad essi possiamo estendere il concetto di ordine, 
* 
cioè se / è di ordine w, e 
* * 
<pf 
è di ordine n <fm si dirà che <p è dell’ordine negativo 
n — m . 
Evidentemente se g> è di ordine positivo m , y>~ 1 sarà di ordine — m. e il teo¬ 
rema che la resultante di due funzioni di dati ordini ha per ordine la somma degli 
ordini delle componenti, si estende al caso degli ordini negativi. Si estende anche 
facilmente il concetto di ordine superiore ad un ordine dato negativo nel caso in 
* * 
cui 1 ordine non sia determinato, cioè se 9 / non fosse di ordine determinato, ma 
fosse di un ordine superiore ad n<fm, si direbbe che <p è di ordine superiore a 
n — m . 
12 . Come abbiamo detto precedentemente (§1), potrebbe parere che in tal modo 
non si sia fatto che una teoria puramente formale; però questo non è il caso in 
quantochè gli elementi introdotti, pur essendo formali, cessano di essere tali, per 
acquistare il senso di funzioni ordinarie, ogni qualvolta si compongano con una 
funzione di un ordine convenientemente elevato. Così, per esempio, se si ha una 
somma 
* % fi 
(f 6 h 
basterà comporla con f m (p b h perchè divenga una funzione ordinaria. 
