— 194 — 
13. Vogliamo dare subito un esempio ed una applicazione di questo concetto. 
Consideriamo un seguito infinito di funzioni 
(4) fi{x , y ) , ft {&, y) , ... , fm(x , y) , ... 
appartenenti ad un gruppo di funzioni permutabili. Per semplicità supponiamo ridotto 
il gruppo alla forma canonica. 
Quando è che diremo che esse tendono verso un limite? 
La questione non è semplice e noi esamineremo varii casi. 
1 °) Siano le funzioni (4) definite nel campo 
a <. se <y <b , 
e siano di ordine positivo. Esse tenderanno uniformemente verso una funzione f(x,y) 
di ordine maggiore o eguale ad 1 , se, preso comunque £, si potrà trovare n tale che 
(5) \fm(x ,y) — f{x ,y)\<e , 
purché m sia maggiore di n (Q. 
Si riconosce immediatamente che f(x <y) appartiene anch’esso al gruppo delle 
funzioni permutabili. 
2°) Essendo soddisfatte tutte le altre condizioni precedenti all’infuori della 
(5), le funzioni (4) tenderanno verso la funzione f(x , y ) di ordine maggiore o eguale 
ad a (essendo 0 <!«<CI)> se 
(y — xy-«\f m {x , y) — t\x , y)\< « . 
Si riconosce anche in questo caso che f(x , y) appartiene al gruppo delle fun¬ 
zioni permutabili. 
Sia ora (p una funzione di ordine determinato positivo. Consideriamo 
* * * * 
<p A , <p A ’ • • • 
esse tenderanno verso la funzione limite 
* * 
V = f<P • 
quindi potremo dire 
<P 
Questa proprietà serve ad estendere il concetto di limite come vedremo nel paragrafo 
seguente. 
(') È evidente che la condizione (5) porta come conseguenza che l’ordine positivo delle f m (x, y) 
deve essere uguale o superiore ad 1. 
