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14. Siano 
/i i fi i A > ••• 
delle funzioni del gruppo di ordine negativo nullo o positivo, ma tali che gli ordini 
stessi siano tutti superiori ad un numero negativo —n . Sia (p una funzione del 
gruppo di ordine determinato positivo superiore ad n. Le funzioni 
* * * * * * 
(6) <pfi , 9 - 
saranno tutte di ordini positivi. Se esse tendono, secondo i criterii sopra stabiliti, 
verso una funzione di ordine positivo 
xp(x , y) 
chiameremo limite di /\ , f 2 . f 3 , ... la frazione di composizione 
' y) (i) _ 
SP(* i y) 
Per giustificare questa definizione basta provare che il detto limite è indipen¬ 
dente da (p . Infatti invece di (p prendiamo (p' di ordine superiore ad n. Avremo 
* * % * * * * 
( 6 ') <pf i , 9 'fi , 9 fa , ... 
Due casi possono presentarsi: o queste funzioni hanno un limite t//, o non esiste 
limite. Nel primo caso avremo che 
* * * * * * 
9(9 f) , 9(9 A) , - 
avranno per limite (p ip'. 
Nello stesso modo 
* * * * * * 
9(9 fi) » 9 (9 fi) , - 
avranno per limite p'ip. Ma, per le proprietà associativa e commutativa, 
quindi 
9(9'fi) = 9X9 fi) ’ 9(9'fi) = 9'(9 fi) » ••• 
cpxp' = (p'xp 
che porta come conseguenza 
= 
9 9 
Il caso che l'insieme delle funzioni (6') non abbia limite, mentre lo ha l’in¬ 
sieme delle (6), può presentarsi benissimo. 
(') Evidentemente deve supporsi che ip sia tale che corrisponda alle condizioni poste nel § 3 
per la definizione di frazione. 
