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Dov remo sostituire 
qm = a»(P « _|_ m p -I- ~ 1( ps _J-) . 
2 ! 
a s m . 
La serie sarà convergente se esisterà un limite per la somma dei primi m ter¬ 
mini, quando m cresce indefinitamente. 
* 
Componiamo *P m con una funzione di ordine determinato positivo 
(p{x , y) — f(x , y) (y — x ) a_1 , 
ove 
p*,y>l<N. 
Supponiamo F di ordine determinato positivo X, e chiamiamo M un numero 
maggiore del massimo modulo della sua caratteristica; sarà 
| F ft | <M*i — x) hX ~ l 
|P*5p| — x) hX+a -~ i 
|(f \ < k m N (y — ìc)“ -1 11 + mM(y — x) x -f- —— (y — ;r) n -f- • • • j 
— N (y — cc) a_1 ( 1 -f- M (ly — ,z’) x ) m . 
Dunque per la convergenza della serie 
a 0 W° -f a, «P + « 2 è 2 -j - 
sarà sufficiente che 
|A(1 -f M(y — cc) x )|<R. 
17. Nel § 3 abbiamo posto come condizioni alle funzioni del gruppo che si 
consideravano di essere di ordini determinati e tali che anche le loro combinazioni 
lineari fossero di ordini determinati, ed inoltre che prese due funzioni, l’una di 
ordine superiore all’altra, questa composta con una ed una sola funzione riproducesse 
la prima. Ora alcune di queste restrizioni possono togliersi senza che cessino di esser 
vere alcune delle proposizioni stabilite. Così noi potremo supporre che i soli denomi¬ 
natori soddisfino alle condizioni precedenti. La proposizione fondamentale che due 
frazioni di composizione eguali ad una terza sono egnali fra loro seguiterà a sus¬ 
sistere, e così le operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione per una costante, 
e composizione delle frazioni di composizione colle loro proprietà varranno sempre. 
Non potrà dirsi lo stesso per la divisione, a meno che anche il numeratore della 
frazione divisore non soddisfi, come i denominatori, alle precedenti condizioni. 
La estensione che adesso abbiamo fatta appare necessaria, giacché, anche par¬ 
tendo da un insieme di funzioni del gruppo che godono delle proprietà stabilite al 
