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§ 3, se si introducono nel gruppo delle funzioni limiti, queste (come si riconosce 
facilmente) possono non più soddisfare alla condizione di essere di un ordine deter¬ 
minato. 
Si può anche estendere (con lievi e semplici modificazioni delle proposizioni 
enunciate) il campo delle considerazioni al caso in cui le funzioni del gruppo dalle 
quali si parte, possano essere di ordine non determinato purché siano di ordine supe¬ 
riore ad un numero positivo, ed inoltre i denominatori siano tali che una funzione 
qualunque del gruppo, la quale, rapporto ad un denominatore, sia di ordine non 
inferiore ad un numero determinato positivo, possa ottenersi dal denominatore stesso 
in uu sol modo componendolo con un'altra funzione del gruppo. 
18. Abbiamo accennato alla fine del capitolo precedente (§ 15) alla estensione 
del campo di applicazione del teorema del § 2, Cap. X, e delle considerazioni del 
§11 del Chap. XI dell'opera più volte citata ( Legons sur les fonctions de lignes ), 
in seguito all'introduzione delle funzioni di ordine fratto. Analoga cosa si può dire 
adesso in virtù della introduzione di frazioni di composizione, e delle funzioni di 
ordine negativo appartenenti ad un gruppo di funzioni permutabili. Ad equazioni 
algebriche o differenziali, le cui soluzioni hanno dei poli, corrispondono dalle equa¬ 
zioni integro-differenziali le cui soluzioni possono esprimersi mediante funzioni di 
ordine negativo. 
CAP. IV. 
Progressioni di composizione - Logaritmi di composizione. 
1. Sia (f{x.y) una funzione di ordine determinato positivo. Consideriamo la 
successione 
. <p~*, <p ~*, <p~ l i <p °, <p , y*, <t 3 , . 
Diremo che essa costituisce una progressione di composizione avente per ra¬ 
gione (p . 
Gli esponenti si diranno i logaritmi di composizione delle varie potenze di 
composizione e (p se ne dirà la base. Scriveremo 
n = log» (p n , 
con n positivo o negativo. 
Tutta la teoria aritmetica dei logaritmi è evidentemente estensibile a quelli di 
composizione ora introdotti. Cosi il logaritmo della resultante di più funzioni è 
la somma dei logaritmi delle funzioni componenti , ecc. 
Analogamente la progressione di composizione gode di proprietà analoghe alle 
progressioni geometriche. In particolare 
(pO - (p n+l 
* * 
(f° — (f 
<p° -h y + <ìp 2 + ' ' • + «p n 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XI, Ser. 5 a . 
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