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3. Mediante la inserzione di medii si può passare a logaritmi frazionarli. 
Inseriamo, mediante il calcolo di y m , m medii fra due elementi della progressione; 
otterremo 
# _ r # _ 
9~ 
<P 
i 9 
<f a (f n 
(p n 
# m-fr -1 
(f , (f m 
(p- 
che potrà considerarsi come una nuova progressione di composizione avente per 
.1 
ragione (p n , e potremo scrivere 
h « * — 
- = iog«p r n 
m 
con h e m numeri interi. 
In generale, se r è un numero positivo o negativo razionale o irrazionale, porremo 
* * 
(1) r glos'cp (p r t 
e a questi logaritmi di composizione potremo estendere le proprietà dei logaritmi 
aritmetici. 
4. Ci farà comodo di scrivere le potenze di composizione sotto la forma 
* # # 
c f = (p r ^° , 
e quindi di scrivere invece della (1) 
r(p° = logcp = log* y r . 
5. In tal modo noi possiamo, partendo da una base (p e considerandone tutte 
* 
le potenze reali, avere i logaritmi espressi mediante numeri reali moltiplicati per <p°; 
ma senza un passo ulteriore non ci sarà possibile di ricavare un 
log? tfj 
se ip, pur essendo permutabile con (p, non è una potenza di (p. Questo ulteriore passo 
non si potrà fare senza la introduzione del concetto fondamentale della base neperiana. 
CAP. Y. 
Base neperiana dei logaritmi di composizione - Logaritmi neperiani di 
composizione - Estensione della teoria dei logaritmi di composizione. 
1. Prendiamo la funzione 
ef° = e ; 
avremo 
* * 
= e z r , 
e quindi 
(] * * * 
-j- e z = e z f° — e z . 
ds 
