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o-ere questo scopo consisterà nello stabilire due proprietà fondamentali comuni a 
tutte le funzioni fino ad ora esaminate, e ad assumere le proprietà stesse come 
quelle che definiscono in generale tutte le funzioni di composizione. 
La prima di queste proprietà è, che tutte le funzioni precedentemente ottenute 
sono permutabili colla funzione che costituisce l'argomento ; andremo a stabilire 
nel paragrafo seguente la seconda proprietà fondamentale. 
5. Ritorniamo ad una funzione di composizione razionale e intera 
. « 
<X>(F) = a m F m . 
1 
Formiamo 
Ó(F + ef) - ®(F), 
ove e è un numero e f una funzione permutabile con F. 
Per e tendente a zero, questa espressione tende a zero; e 
è (F 4- ef) — Ò{V) 
*/ 
per e tendente a zero, tende verso un limite che è facile calcolare, ed è 
ma m F” 1 - 1 
1 
Esso è quindi indipendente da f . Si chiamerà la derivata di composizione di <J> 
rispetto ad F. 
La regola per calcolare questa derivata consiste nel derivare la serie (1) rispetto 
a z, e sostituire, alle potenze di z , le potenze di composizione di F. Quindi la 
regola è la stessa che si tiene per calcolare la derivata ordinaria purché si sosti¬ 
tuiscano alle potenze ordinarie quelle di composizione. 
Giovandoci del concetto di limite stabilito precedentemente (Cap. Ili, §§ 13, 14) 
potremo estendere in modo identico il concetto di derivata di composizione alle fun¬ 
zioni razionali di composizione aventi poli, alle funzioni irrazionali di composizione, 
e a tutte quelle che da esse si possono ottenere mediante operazioni di somme, di 
composizioni, di rapporti di composizione e di funzioni di funzioni di composizione. 
Le regole per eseguire le derivate di composizione saranno le stesse di quelle che 
si applicano per le derivazioni ordinarie, salvo a sostituire alle operazioni ordinarie 
di moltiplicazione e di potenza e di rapporto quelle di composizione. 
Potremo estendere lo stesso concetto di derivata anche alle funzioni logaritmiche 
* 
di composizione. Se vogliamo ottenere la derivata di composizione di /F, basterà 
osservare che 
