e quindi si troverà 
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dF 
Potremo dunque generalizzare le regole precedenti, per eseguire le derivate di com¬ 
posizione, anche ad espressioni contenenti dei logaritmi di composizione. 
Evidentemeute in tutti i casi considerati, se l’incremento dato alla funzione F 
è ef, permutabile con F, e si fa tendere poi e a zero, il limite del rapporto di 
composizione, che ha per numeratore l’incremento della funzione di composizione, 
e per denominatore ef, resulterà indipendente da f. Questa proprietà è la seconda 
proprietà fondamentale che cercavamo. 
Per rappresentare la derivata di composizione della funzione d> dell’argomento F 
faremo uso del simbolo 
dò 
d¥ ' 
6 . Premesso questo, passiamo a stabilire la definizione generale di funzione di 
composizione. 
Sia Q>(x,y) una funzione che dipende da tutti i valori della funzione F(£, 17 ) 
x £ <. rj <. y, nel senso cbe si dà a questa denominazione nella teoria delle fun¬ 
zioni di linee , per modo che potremo scrivere, con i simboli di questa teoria 
0> = cP|[F ($,*)] 
x k 
e possa F(cc,?/) variare in un certo campo funzionale per il quale ammetteremo che, 
se vi sono incluse f e (p, vi sia anche inclusa af -j- b<p . Le funzioni db ed F siano 
permutabili. Supporremo di più la continuità : cioè, se ad F (x, y) corrisponde 
<D(x,y), e ad F,(^r , ?/) corrisponde db^x^y), <2> tenda uniformemente verso <J>,, 
allorché F tende uniformemente verso Fj. 
Oltre a ciò ammetteremo che, nel senso che si dà a questa operazione nella 
teoria delle funzioni di linee , la <2> possa differenziarsi rispetto ad F, ottenendone 
i differenziali successivi primo, secondo ecc., fino a quell'ordine che sarà necessario 
considerare. 
Sostituiamo F(£ , rj) con 
F (£ . y) + */(£ 1 v) 
permutabile con F(£ , 17 ), e indichiamo con <D'(x , y ) ciò che diviene cP(cc , y). For¬ 
miamo il rapporto di composizione 
# # 
— 4 > 
*f 
e facciamo tendere il numero e verso zero. Se esiste un limite indipendente da f , 
