— 231 — 
Allorché esistono le successive derivate di composizione di <T>, queste si deno¬ 
teranno respettivamente con 
d 2 i> d 3 è 
r~ > ~ » ••• 
6?F 2 dF s 
e saranno tutte funzioni di composizione di F nel senso stabilito precedentemente. 
8. Passiamo adesso ad esporre alcune osservazioni che serviranno a chiarire e 
completare i concetti che abbiamo finora stabiliti. 
Cominciamo dal notare che conviene sempre individuare il campo funzionale 
nel quale si ammette variabile l’argomento delle funzioni di composizione che si 
vogliono esaminare. 
Così per esempio consideriamo 
(5) pF0M)£(y-U«, 
j X 
e riguardiamola come dipendente da tutti i valori di F(£, ry), a? <. £ <. nel 
senso della teoria delle funzioni di linee. Finché la funzione F appartiene al gruppo 
del ciclo chiuso, la espressione (5) ci darà una funzione di composizione di F; al di 
fuori di questo campo, non più. 
Infatti, se prendiamo 
F(®,f) = F(? —*), 
la funzione (5) sarà permutabile con F; mentre, in generale, se F(.r,£) non appar¬ 
tiene al gruppo del ciclo chiuso, tale permutabilità non sussiste. Dunque la prima 
delle proprietà fondamentali (§ 6 ) è verificata soltanto se F appartiene al gruppo 
del ciclo chiuso e quindi dovrà supporsi variabile entro questo campo funzionale 
l’argomento F. 
9. Potremmo chiederci se, nel definire una funzione di composizione (§ 6 ), sia 
necessario di enunciare esplicitamente la condizione che abbiamo posto per la deri¬ 
vata: di essere indipendente dal differenziale dell'argomento ( 2 a condizione), o se 
essa possa invece discendere come una conseguenza dalla condizione di permutabilità 
fra la funzione ed il suo argomento (l a condizione); ma è facile il riconoscere che 
le due proprietà sono indipendenti , nel senso che, può esistere la permutabilità fra 
funzione e argomento, senza che la derivata resulti indipendente dal differenziale del¬ 
l’argomento. Per averne un esempio consideriamo l’espressione 
(6) Pf(®, $)£(£ — x)d$ 
J X 
come dipendente da F. 
Se prendiamo F appartenente al gruppo del ciclo chiuso, cioè 
F(a?,£) = F(£ —*), 
Classedi scienze fisiche — Memorie — Voi. XI, Ser. 5*. 
31 
