— 232 — 
l’espressione precedente diviene 
f F(i?) Sì{i]) drj , 
J 0 
cioè'conduce ad una funzione che appartiene pure al gruppo del ciclo chiuso ed è 
quindi permutabile con F. La prima proprietà fondamentale (§ 6 ) è dunque sod¬ 
disfatta. 
Diamo ora ad F(y— x) l’incremento sf{y — x). L’incremento dell’espressione 
( 6 ) resulta 
« f f(rj) Sì(rj) drj. 
- 'o 
Per calcolare il rapporto di composizione fra l’incremento ora ottenuto e l’in¬ 
cremento deH’argomento F, basterà risolvere l’equazione integrale 
f f f(rj) drj = e f f(y — £)xp{£ — x)d$. 
'S 0 ^ OC 
La soluzione i p ci darà il cercato rapporto. 
Ora, derivando ambo i membri rispetto ad y, si ha 
f(y ~ ®) Q{y — x) = f{0 ) ìp(y — x) -f f f\y — ì) ip(£ — x) d$ , 
J K 
ossia 
f{x) Sì(x) — f(0) tp(x) + ( f'(x — £) </>(£) d£ , 
ed evidentemente la soluzione xp dipende da f. 
Ne segue che la 2 a condizione fondamentale del § 6 (cioè che la derivata 
di composizione sia indipendente dal differenziale dell’argomento) non è soddisfatta , 
sebbene lo sia la prima, cioè la condizione di permutabilità fra funzione e argomento. 
10. La importanza di questa seconda condizione consiste nell’essere essa inva- 
riantiva per le successive operazioni che fanno passare dalla funzione alle sue 
successive derivate : ossia, che, se è verificata nel primo passaggio dalla funzione 
alla derivata prima, sussiste anche in tutti i successivi passaggi alle altre derivate. 
Tale è il significato del teorema del § 7. 
Riconosciutane così la importanza, vogliamo darne una nuova dimostrazione pel 
caso particolare in cui il campo funzionale dell’argomento sia quello del ciclo chiuso. 
Supponiamo di far corrispondere, ad ogni funzione F del ciclo chiuso, un’altra 
funzione <J >, pure appartenente al gruppo del ciclo chiuso, in modo da ottenere se¬ 
condo la definizione generale (§ 6 ) una funzione di composizione < 2 >(F). Consideriamo 
* 
dd) 
