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14. Dalla formula (7) segue che, se 
qualunque sia F nel campo che si considera, <f> è indipendente da F : cioè, è eguale 
ad una funzione fissa determinata appartenente al gruppo di funzioni permutabili 
nel quale è compreso il campo funzionale entro cui è variabile l’argomento F. Per 
» • 
conseguenza, se <f>,(F) e <P 2 (F) hanno la stessa derivata di composizione, esse deb¬ 
bono differire per una funzione fissa determinata appartenente al gruppo delle fun¬ 
zioni permutabili a cui appartiene F. 
15. Passiamo adesso alla integrazione di composizione. 
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Abbiasi una funzione di composizione </>(F), e consideriamo la funzione 
F(# • y | s) 
tale che, per tutti i valori di s compresi entro certi limiti a b , F(;c , y | s) appar¬ 
tenga sempre allo stesso gruppo di funzioni permutabili. Supponiamo, dapprima, che 
(P e F siano di ordine positivo. 
Formiamo, con una operazione di composizione, 
e supponiamo che questa espressione, considerata come funzione di s, sia integrabile. 
Calcoliamo 
(9) j^Ffr.yl»)) 
Questo integrale si otterrà dividendo l’intervallo a b in n parti h x , h 2 ,... h» , quindi 
formando 
F(cc, y | a + h x -j- Ji 2 -f- • • • -f- h r ) — F r , , y | a) = F 0 , 
( 10 ) lim V<p(F r ) (F r+1 - F r ), 
0 
passando al limite nell’ultima somma col far tendere indefinitamente verso zero 
tutti gli intervalli h x , h 2 ,... h n e crescendone nel tempo stesso indefinitamente il 
numero. 
Se <2> o F fossero di ordine negativo, potremmo operare analogamente, purché 
si applicassero le regole per il passaggio al limite di espressioni di ordine negativo 
(vedi Cap. Ili, §§ 13 e 14). 
