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La (3) si scriverà 
(4) (P(x , y |*) + z ( <P{x , f|*) d£ = A(x ,y\z ), 
J OC 
ove 
(5) A(x, y\z) — z 2 G(x , y )— z ( <D(x , £ | z) G(£ . y) dì ;— z 3 ( e~ 2( ^~ xì G, y) d£. 
J X J X 
Risolvendo l’equazione integrale (4) rispetto a <I>(x,y\z), si trova 
(6) <P(x , y | = A{x , y \ z )— z [ A(x , 11 z) d% . 
^ OC 
Poniamo 
zf e~* ( Z- x) f(g ,y)d% = Sì\[f(x,y)~\\ 
J X 
z f f{x^) e-*^ d$ = iì'\[f(x ,]y)~\\ . 
JX 
Sarà 
iìii'\lf(x . y)~]\ = Sì'Sì\[f(x ,y)]| . 
Sostituendo per A la sua espressione (5), la (6) si scriverà 
(7) &{x , y\z) -f- 5 | <P(a;,£|*)G(£.y)<fè — 
J X 
— z 2 [ e~ z< - ÌJ ~ c>) dì; ) <I>(x ,rj\z) G (t], £) di] = 
Jx X 
= ^ 2 \G(x , y) - 42 \[G(x , ? /)]| - -Q' |[G(£C ,.//)]] + Sì Sì |[G(* , ;/)]| • 
Ora 
z [ e~ z{y ~°dk ( <I>(x , ry | G(t ], £) drj = z | (V(x,t]\ z) dy ( G(?;, £) er zly ~^ dì; — 
J x J x Jx 
= f <t>{x ,r]\z) Sì' \[G(r], y)-\\ dy , 
J X 
quindi la (7) si potrà mettere sotto la forma 
(7') <P(x , y | z) + f ®(*,?|,?)H(|,.y|«)rf^ = S(a5, ?/.|«), 
ove 
H(x ,y\ z)== zG(x , y) — zSì’ |[G(#, y )~\| 
S(a?, y U) = zG(x ,y\z) — zSì |[H(# , y |*)]| . 
