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e per conseguenza, per y >• x , 
lim <t>(x , y |*) L = <p(x , y) -= F„(a:, y) -f- ( F,*(a;, £) } F,(£. y) -f- F*(£,yH-. 
#=00 OC 
Per y = af abbiamo che la funzione G(as, y) del § 3 si annulla e perciò si 
annullano pure Tl(x,y\z) e S(a;,y|,s), quindi* in virtù delle (7) anche <X>(cc, y\s), 
e per’conseguenza 
lim d>(x , y\z) = 0 , per y = x , 
#=00 
il che dimostra il teorema. 
4. Dal teorema I segue, sotto le condizioni stabilite, che il 
lim (*F — * , F* + * 3 F 3 — • • ) 
x=+oo 
è zero se y~7>x, ed è oo se y — x. Inoltre, finché f(x ,y) è superiore ad una 
quantità positiva, sarà 
lim (^F -J-^'F 2 _f_ _|_ . . ,) = 00i 
*= 4-00 
Tali proprietà fanno avvicinare la serie molto generale (1) alla serie esponenziale. 
Intanto il teorema I (vedi Osservazione al detto teorema) serve a risolvere la que¬ 
stione della convergenza dell’integrale (1). L’essere F ridotta alla forma canonica 
(Cap. I, § 11), o anche semplicemente l’essere F(ck , x) — 1, basta a farci rico¬ 
noscere che il detto integrale è convergente , e quindi 
(„) F,F-(F-F.)J f _( F _ — F. + (r -^F3-...). 
In virtù dell’ interesse presentato dal teorema I, ci sia permesso di darne nel 
§ seguente una nuova dimostrazione valevole in un caso particolare (caso polinomiale 
del ciclo chiuso), la quale ci ha fatto intuire nel corso di queste ricerche il resultato 
generale, ed è perciò abbastanza significativa. 
5. La serie 
*F — ** F* -{- 2 3 F 3 - 
è soluzione dell'equazione integrale 
(12) q(x , y | z) -J- z f g(x , £ | z) F(£ ,y)d£ = z F(x , y ). 
Supponiamo che F appartenga al gruppo del ciclo chiuso, e sia 
, V) = 1 + (y — x) + cc t (y — x) l -\ -(- a n (y — x) n . 
Anche g(x , y | z) apparterrà al gruppo del ciclo chiuso, e potrà scriversi g(y — x\z), 
onde l’equazione (12) diverrà 
(13) ?(*,*) + * f *|1+ «,(«:—£) + «*(« —£)‘H- {-ct n (x — £)"!?(£,*)<& = 
v 7 0 
= *(1 + CC\X -J- «2 X 2 -{- ••• CC n X n ) . 
