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avendo indicato con g>(x) dx la probabilità che X assuma un valore compreso tra x 
e x-\-dx. In seguito, riferendoci anche a variabili casuali reali continue, limiteremo 
qualche dimostrazione al caso di una variabile casuale reale discontinua. 
Dopo quanto è stato detto sopra, si può enunciare il seguente 
Teorema. — Se X è una variabile casuale, se m è un numero reale comunque 
assegnato, se k è un numero positivo pure comunque assegnato, se il limite supe¬ 
riore dei valori che può assumere |X — m\ non supera un numero finito a , se 
cr ft indica il valore medio di |X — m | ft , si hanno, per la probabilità P delle ine¬ 
guaglianze 
(19) m — X I'<f h <. X < m -f- X p'<r h , 
le seguenti limitazioni: 
(20) i—Jr< ,p — 1 »*<i- 
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Del teorema precedente consideriamo due casi particolari. 
Supponiamo 4 = 2 e scegliamo m in modo che risulti minimo. È noto, al¬ 
lora, che m coincide col valore medio M di X; si ottiene, in questo caso, un noto 
teorema di Bienaymé-Tchebychef, completato con un confine superiore di P per A<1. 
Valgono cioè, per la probabilità P delle ineguaglianze 
(21) M — X\ a~ t < X < M + Aj/57, 
le seguenti limitazioni: 
(22) 1 — y 2 <P < 1 se 1>1, 0 < P < f se A < 1 . 
Ad es : per a = 2 a t , X = \ , si ha P <. 0,80 ; per a = 3<r 2 , X = ^, si ha P <. 0,90. 
Supponiamo, in secondo luogo, k— 1 e scegliamo m in modo che <s x risulti 
minimo. È noto che, allora, m coincide con la mediana A che si riferisce alla legge 
di probabilità di X ; mediana che, indicando con xp (x) la probabilità che X assuma 
valori inferiori o eguali a a:, soddisfa alla condizione 
(23) V(A)-*. 
In tal caso, per la probabilità P delle ineguaglianze 
(24) A — iff.^X^A + lff,, 
valgono le seguenti limitazioni: 
(25) 1 — -y<P<l se A > 1 , 0<P< 1 se X < 1 . 
Ad es.: per a==4a 1 ,X=j, si ha P < 0,80; per a = 9a l ,X=~, si ha P <0,90. 
