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Il teorema più generale, precedentemente enunciato, altro non presuppone che 
la conoscenza di m, di a h e di a, osservando, però, che su di m non è stata fatta, 
per la dimostrazione del teorema, alcuna speciale ipotesi. 
Ove, nella ricerca dei confini di P, che sono oggetto di indagine, si tenesse conto 
di altre condizioni, ad es. quando invece di presupporre noto un singolo o* fosse 
presupposta la simultanea conoscenza di diversi corrispondenti a valori diversi 
dell’indice k, possono ricavarsi confini più convenienti di quelli precedentemente 
ottenuti ( 1 ). Così pure possono ottenersi confini più convenienti, per speciali valori 
di m , relativi alla probabilità P! che X assuma valori compresi tra a e m -}- A , 
essendo a<Cm — ( 1 ). 
Nei casi, poi, in cui il problema possa ricondursi alla conoscenza delle somme 
^ P& 1 ^ Pcc % > Px 35 2 , ., ^ Px ZC n 1 , 
X X X X 
la ricerca dei confini più convenienti di 
Px » 
x-cv 
essendo v un numero reale determinato, rientra teoricamente nelle generali inegua¬ 
glianze indicate da Tchebychef ( 2 ). Non ci è noto che la discussione di queste ine¬ 
guaglianze, che presenta difficoltà pratiche notevoli per valori finiti di n appena 
elevati, sia stata tentata per valori diversi da n= 3; il qual caso fu discusso dallo 
stesso Tchebychef, con riferimento ad un problema di fisica, e dimostrato e da noi 
generalizzato, per altra via, con riferimento al calcolo delle probabilità ( 3 ). Il caso di¬ 
scusso da Tchebychef è quello in cui gli integrali corrispondenti alle prime tre somme 
soprascritte siano compresi tra limiti positivi; il risultato, quando i limiti di tali 
integrali siano — oo e -f- oo , ottenuto per mezzo delle indicate ineguaglianze di 
Tchebychef, è dato nella nostra citata Nota sul rischio. 
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Dovremo applicare i teoremi sopra dimostrati ad una variabile casuale somma 
delle variabili casuali Xj, X»,..., X„. Interessa, pertanto, qualche riflessione sul¬ 
l’argomento. 
(*) Cfr. Cantelli, Intorno ad un teorema fondamentale della teoria del rischio. Bollettino 
dell’Associazione degli Attuari italiani, n. 24. Milano 1910. 
( 2 ) Cfr. Oeuvres de P. L. Tchebychef, pubbliées par les soins de M.M. A. Mar.koff et N. Sonin. 
Tome li, St. Pétersbourg 1907, pp. 183, 421, 443, 541, 681. 
( 3 ) Cfr. Intorno ad un teorema di calcolo delle probabilitd. Giornale di matematiche di Bat¬ 
tagliò, voi. XLIX. 
