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condizioni di dipendenza tali per cui il teorema resti ancora valido. Il Markoff la 
questa osservazione e in una sua Memoria ( x ) dà alcuni esempi di tali condizioni 
di dipendenza. A noi interessa, in questo scritto, sostituire alla premessa della 
indipendenza delle variabili casuali X,-, nella dimostrazione dell’ indicato teorema, 
una premessa di carattere più generale, tale che implichi condizioni, verificabili 
a ''priori , da potere includere tutti i casi di dipendenza accennati. Invero, tale 
premessa si presenta spontanea per chi usufruisca dei primi concetti della teoria 
della correlazione, sulla utilità pratica e teorica della quale rimandiamo ad un la¬ 
voro di Udny Tuie ( 2 ) e alla letteratura sull’argomento da questi citata. 
* 
* ¥ 
Essendo 
X(») = X, + X* + -+X», 
(40) *—» «'=» 
EfX(w)) = XE(X,) = 2.Mi 
v 7 i=i 1=1 
e posto 
(41) E (X,- — M f ) 2 = a 2 ,i , E (X r — M r ) (X 5 — M s ) = y r , s , r =1= s , 
si deduce agevolmente 
(42) 
(s t {n) — E 
= <*t,l + tf 2,8 <**,3 4" + 2 (yi ,2 -f- y,,3 +-h yn_l,n) 1 
in cui i termini y ns sono in numero di 
n(n — 1) 
9 , 
e in cui è noto ( 2 ) che i valori 
che può assumere y r , s sono compresi tra —f/tfj,,.. e + f/oV • G t,s • Diremo, 
qui, che nel caso y r , s = 0 le due variabili casuali X r e X s non sono correlate, 
che nel caso y r , s <C 0 sono negativamente correlate e che nel caso yr, s ^>0 sono 
'positivamente correlate. 
Due variabili casuali X r e X s tra di loro indipendenti sono sempre non cor¬ 
relate, mentre due variabili casuali X r e X* non correlate possono essere dipendenti. 
Adduciamo, a chiarimento, un esempio molto semplice. 
Siano le due variabili casuali Xj e X 2 ; X 2 dipende da Xi in tal modo che, 
se X! ha assunto il valore x ìfr , il valore medio dei valori che può assumere X 2 è 
lo stesso x hr . Ciò posto, indichiamo con p(x i, r ) la probabilità che X! assuma il 
valore x Ur , con p{x ìtS ) la probabilità che X 2 assuma il valore x itS quando Xi abbia 
assunto il valore x, r , e consideriamo le due variabili casuali 
(43) 
Xi — M , Xj — X 2 , 
(*) Cfr. Extension de la loi des qrands nombres aux événements dépendants les uns des 
autres. Bulletin de la Sociétè physico-mathématique de Kasan (2 me sèrie, tome XV, n. 4, 1906) ; 
cfr pure Wahrsch., pag. 62, Anmerkung. 
(*) An Introduction to thè Theory of Statistics. London 1912, second edit., Charles Griffin & C. 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. IX, Ser. 5 S . 
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