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Ne conseguirebbe, dunque, 1’esistenza di valori di n(f>ni) in corrispondenza di 
ciascuno dei quali la variabile casuale 
X(»)_ X 1 +X, + - + X W 
n n 
potrebbe assumere un valore compreso in un intervallo tutto interno a quello indi¬ 
cato (98), oppure un valore compreso in un intervallo tutto esterno al precedente (98), 
con probabilità Pi -{- P 2 > 1 . Ma questa conclusione è incompatibile con la presup¬ 
posta esistenza della variabile casuale (100) poiché, se essa esiste, la somma delle 
probabilità relative a tutti i valori possibili che essa può assumere deve essere, per 
definizione, eguale all’unità. 
★ 
* * 
Per la dimostrazione degli altri teoremi ricordiamo che, essendo A, e k 2 due 
numeri positivi qualunque, k y f> k 2 , e X una variabile casuale che possa assumere 
soltanto valori positivi, la esistenza del valore medio di X ftl porta come conseguenza 
la esistenza del valore medio di X fta . Richiamiamo, inoltre, il seguente caso parti¬ 
colare di una recente proposizione dovuta ad A. Liapounoff (*): 
Se X è una variabile casuale che può assumere soltanto valori positivi, e se 
k\ , kì ,, k 3 sono tre numeri qualunque che verificano le ineguaglianze 
ki > k t > k 3 >. 0 , 
( 101 ) 
si ha 
( 102 ) 
minata funzione »&*,(»), che ammette un limite per n — co, tali che sia pure 
(103) 
lim 0*. [m*. (»)] = 0. 
Allora, se nella (102) si pone k 3 = 0 e X= mn t (n) — , si ha 
(104) 
V 
onde, per la (103), 
(105) 
lim o t , |>», (»)] = 0. 
n — oo 
(*) Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilità. Mémoires de l’Acad. des Sciences 
de St. Pétersbourg, Classe Physico-mathématique, voi. XII, n. 5. 
