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PARTE PRIMA. 
Le funzioni 4> r (u) coll’indice r reale, positivo e intero. 
1. Poniamo 
< J> r (u ) = lim 
k=oo 
j 
k 
\ogk—T h 
0 
(ft + ir - 1 1 
(h -f- u) r ' 
1) 
in cui u rappresenti una variabile reale e positiva, r un indice reale, positivo e 
intero La serie che qui figura è divergente, e la funzione si presenta nella forma 
indeterminata oo— oo . Ponendo u= 1, si ha 
4> r (l) = lim log k 
k= oo f 
k 
_ V 
1 ì 
o A -f- 1 ^ 
= — A 
1 .) 
dove A rappresenta la costante, già calcolata dal Mascheroni e ricalcolata dal Gauss. 
A = 0,577 215 664 901 532 860 606 512..., 
costante tanto frequente in questo ramo d’analisi. Sottraendo la li) dalla 1), si ha 
4> r (u) = — 
oo 
A+L, 
0 
(k -|- u) r — {k-\- l) r 
(*+l)(* + «r 
2 ) 
La convergenza di questa nuova serie è facile a dimostrarsi, per valori finiti e reali, 
positivi e interi di r (*) e per valori finiti, reali e positivi di u ( 2 ). che qui si 
contemplano. Basta considerare che 
{k +«)-_ (k +ir= 
= (tf — 1) )(k + w) r—1 -|- (k +1) (k + u ) r -* -J-(A + l) r_ * {k-\-u)-\- (k -f 1)^»|, 
per cui la (2) prende la forma 
<D r (u) = — A -f- (u — 1) y 
( (*+D- 
k < k -j- u 
I (*+!)■ | 
"•"(A+ 
(k+iy-* (k+iy-* ) 
{k -f -u) r ~ l (k 4 ~u) r )' 
3) 
Sono r termini, rappresentati da serie infinite, tutte convergenti. Per cui la funzione 
dV(tt) è una quantità finita, fino a che r rimanga un numero finito e intero. 
(*) Per valori finiti e reali, ma non interi di r, vedi parte II, n. 5. 
(*) Per i casi speciali u = o o e u < 0, vedi i numeri successivi 6 e 9. 
